Bài 1.80 trang 40 SBT giải tích 12

Cho hàm số: $y=f\left(x\right)=x^4-2m{x}^2+m^3-m^2$

LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi $m=1$.

Phương pháp giải:

- Thay $m$ được hàm số cần khảo sát.

- Khảo sát tóm tắt:

+ Tìm TXĐ.

+ Xét sự biến thiên.

+ Vẽ đồ thị.

Lời giải chi tiết:

Với $m=1$ ta được hàm số $y=x^4-2x^2$.

TXĐ: $D=\mathbb{R}$

Giới hạn: $\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}y=+\mathrm{\infty }$

Chiều biến thiên:

Có $y^{\prime }=4x^3-4x=4x(x^2-1)$; $y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{l}x=-1\\ x=0\\ x=1\end{array}$

Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left(-1;0\right)$ và $\left(1;+\mathrm{\infty }\right)$

Nghịch biến trên các khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-1\right)$ và $\left(0;1\right)$.

Hàm số đạt cực đại tại $x=0$ và $y_{CD}=0$

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=\pm 1$ và $y_{CT}=-1$.

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

+) Điểm uốn: $y^{″}=12x^2-4;$

$y^{″}=0\iff 12x^2-4=0$ $\iff x^2=\frac{1}{3}\iff x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Đồ thị hàm số nhận các điểm $\left(\pm \frac{1}{\sqrt{3}};-\frac{5}{9}\right)$ làm điểm uốn.

+) Cắt trục Oy tại $\left(0;0\right)$

+) Cắt trục Ox tại các điểm $\left(0;0\right),\left(\pm \sqrt{2};0\right)$

LG b

Xác định $m$ để đồ thị $\left(C_m\right)$ của hàm số đã cho tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm phân biệt.

Phương pháp giải:

Đồ thị hàm số tiếp xúc trục hoành tại hai điểm phân biệt nếu và chỉ nếu hàm số đã cho có hai điểm cực tiểu và $y_{CT}=0$.

Lời giải chi tiết:

Để $\left(C_m\right)$ tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm phân biệt thì điều kiện cần và đủ là hàm số đã cho có hai điểm cực tiểu, $1$ điểm cực đại và $y_{CT}=0$.

Ta có: $y^{\prime }=4x^3-4mx=4x\left(x^2-m\right)$; $y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x^2=m\end{array}$.

Để hàm số có hai điểm cực tiểu, một điểm cực đại thì phương trình $x^2=m$ có hai nghiệm phân biệt khác $0$

+) Nếu m ≤ 0 thì x² – m ≥ 0 với mọi x nên đồ thị không thể tiếp xúc với trục Ox tại hai điểm phân biệt.

+) Nếu m > 0 thì y’ = 0 khi x = 0; x = √m hoặc x = -√m.

Khi đó hàm số có hai điểm cực tiểu là $x=\sqrt{m}$ và $x=-\sqrt{m}$;

$\Rightarrow y_{CT}=f\left(\pm \sqrt{m}\right)$ $=m^2-2m^2+m^3-m^2=m^3-2m^2$

$y_{CT}=0\iff m^3-2m^2=0$ $\iff [\begin{array}{l}m=0\left(KTM\right)\\ m=2\left(TM\right)\end{array}$.

Vậy $m=2$ là giá trị cần tìm.

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]