Bài 2.3 trang 100 SBT giải tích 12

Cho a và b là các số dương. Đơn giản các biểu thức sau:

LG a

${\displaystyle \frac{a^{{\displaystyle \frac{4}{3}}}(a^{{\displaystyle \frac{-1}{3}}}+a^{{\displaystyle \frac{2}{3}}})}{a^{{\displaystyle \frac{1}{4}}}(a^{{\displaystyle \frac{3}{4}}}+a^{{\displaystyle \frac{-1}{4}}})}}$

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức về tính chất của lũy thừa.

Lời giải chi tiết:

Với a và b là các số dương ta có:

${\displaystyle \frac{a^{{\displaystyle \frac{4}{3}}}(a^{{\displaystyle \frac{-1}{3}}}+a^{{\displaystyle \frac{2}{3}}})}{a^{{\displaystyle \frac{1}{4}}}(a^{{\displaystyle \frac{3}{4}}}+a^{{\displaystyle \frac{-1}{4}}})}}$

$={\displaystyle \frac{a^{{\displaystyle \frac{4}{3}}}.a^{{\displaystyle \frac{-1}{3}}}+a^{{\displaystyle \frac{2}{3}}}.a^{{\displaystyle \frac{4}{3}}}}{a^{{\displaystyle \frac{1}{4}}}.a^{{\displaystyle \frac{3}{4}}}+a^{{\displaystyle \frac{1}{4}}}.a^{{\displaystyle \frac{-1}{4}}}}}$

$={\displaystyle \frac{a^1+a^2}{a^1+a^0}}={\displaystyle \frac{a(a+1)}{a+1}}=a$

LG b

${\displaystyle \frac{a^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}\sqrt{b}+b^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}\sqrt{a}}{\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{b}}}$

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức về tính chất của lũy thừa.

Lời giải chi tiết:

${\displaystyle \frac{a^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}\sqrt{b}+b^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}\sqrt{a}}{\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{b}}}$

$={\displaystyle \frac{a^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}{b}^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}+b^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}{a}^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}{a^{{\displaystyle \frac{1}{6}}}+b^{{\displaystyle \frac{1}{6}}}}}$

$={\displaystyle \frac{a^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}{b}^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}(b^{{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}}+a^{{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}})}{a^{{\displaystyle \frac{1}{6}}}+b^{{\displaystyle \frac{1}{6}}}}}$

$={\displaystyle \frac{a^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}{b}^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}(b^{{\displaystyle \frac{1}{6}}}+a^{{\displaystyle \frac{1}{6}}})}{a^{{\displaystyle \frac{1}{6}}}+b^{{\displaystyle \frac{1}{6}}}}}$

$=a^{\frac{1}{3}}{b}^{\frac{1}{3}}={\left(ab\right)}^{\frac{1}{3}}$ $=\sqrt[3]{ab}$

LG c

$(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})(a^{{\displaystyle \frac{2}{3}}}+b^{{\displaystyle \frac{2}{3}}}-\sqrt[3]{ab})$

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức $\left(A+B\right)\left(A^2-AB+B^2\right)=A^3+B^3$

Lời giải chi tiết:

$(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})(a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}-\sqrt[3]{ab})$

$\begin{array}{l}=\left(a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}}\right)\left(a^{\frac{2}{3}}-\sqrt[3]{ab}+b^{\frac{2}{3}}\right)\\ =\left(a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}}\right)\left(a^{\frac{2}{3}}-{\left(ab\right)}^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}}\right)\end{array}$

$=(a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}}-a^{\frac{1}{3}}.b^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}})$

$=\left(a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}}\right)\left[{\left(a^{\frac{1}{3}}\right)}^2-a^{\frac{1}{3}}{b}^{\frac{1}{3}}+{\left(b^{\frac{1}{3}}\right)}^2\right]$

$={(a^{\frac{1}{3}})}^3+{(b^{\frac{1}{3}})}^3$

$=a+b$

LG d

$(a^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}+b^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}):(2+\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{a}{b}}}+\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{b}{a}}}).$

Phương pháp giải:

Quy đồng mẫu thức tổng trong ngoặc và rút gọn biểu thức.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}=\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right):\left(2+\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}+\frac{\sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{a}}\right)\\ =\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right):\frac{2\sqrt[3]{a}.\sqrt[3]{b}+{\left(\sqrt[3]{a}\right)}^2+{\left(\sqrt[3]{b}\right)}^2}{\sqrt[3]{ab}}\\ =\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right):\frac{{\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)}^2}{\sqrt[3]{ab}}\\ =\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right).\frac{\sqrt[3]{ab}}{{\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)}^2}\\ =\frac{\sqrt[3]{ab}}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}\end{array}$

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]