Bài 1.12 trang 18 SBT hình học 12

Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông ở $B$. Cạnh $SA$ vuông góc với đáy. Từ $A$ kẻ các đoạn thẳng $AD$ vuông góc với $SB$ và $AE$ vuông góc với $SC$. Biết rằng $AB=a,BC=b,SA=c$.

LG a

Hãy tính thể tích khối chóp $S.ADE$

Phương pháp giải:

- Chứng minh $SE\mathrm{\perp }\left(ADE\right)$.

- Tính diện tích tam giác $ADE$ và chiều cao $SE$.

- Tính thể tích khối chóp theo công thức $V={\displaystyle \frac{1}{3}}Sh$.

Giải chi tiết:

Ta có $\{\begin{array}{c}BC\mathrm{\perp }SA\\ BC\mathrm{\perp }AB\end{array}\Rightarrow BC\mathrm{\perp }(SAB)$

Vì $AD\subset (SAB)$ nên $AD\mathrm{\perp }BC$

Mặt khác $AD\mathrm{\perp }SB$ nên $AD\mathrm{\perp }(SBC)$

Từ đó suy ra $AD\mathrm{\perp }SC$

$\{\begin{array}{c}SC\mathrm{\perp }AE\\ SC\mathrm{\perp }AD\end{array}$$\Rightarrow SC\mathrm{\perp }(ADE)\Rightarrow SC\mathrm{\perp }DE$ hay $SE\mathrm{\perp }(ADE)$.

Trong tam giác vuông $SAB$ ta có: $SA.AB=AD.SB$$\Rightarrow AD={\displaystyle \frac{AB.SA}{SB}}={\displaystyle \frac{ac}{\sqrt{a^2+c^2}}}$

Tương tự, trong tam giác vuông $SAC$ ta có: $AE={\displaystyle \frac{SA.AC}{SC}}={\displaystyle \frac{c\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}}$

Do $AD\mathrm{\perp }(SBC)$  nên $AD\mathrm{\perp }DE$. Từ đó suy ra:

$DE=\sqrt{A{E}^2-A{D}^2}$$=\sqrt{{\displaystyle \frac{c^2(a^2+b^2)}{a^2+b^2+c^2}}-{\displaystyle \frac{a^2{c}^2}{a^2+c^2}}}$ $={\displaystyle \frac{c^{2}b}{\sqrt{(a^2+b^2+c^2)(a^2+c^2)}}}$

$SE=\sqrt{S{A}^2-A{E}^2}$$=\sqrt{c^2-{\displaystyle \frac{c^2(a^2+b^2)}{a^2+b^2+c^2}}}$ $={\displaystyle \frac{c^2}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}}$

Vậy $V_{S.ADE}={\displaystyle \frac{1}{3}}.{\displaystyle \frac{1}{2}}AD.DE.SE$$={\displaystyle \frac{1}{6}}{\displaystyle \frac{ac}{\sqrt{a^2+c^2}}}.{\displaystyle \frac{c^{2}b}{\sqrt{(a^2+b^2+c^2)(a^2+c^2)}}}.{\displaystyle \frac{c^2}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}}$

$={\displaystyle \frac{ab{c}^5}{6(a^2+b^2+c^2)(a^2+c^2)}}$

LG b

Tính khoảng cách từ $E$ đến mặt phẳng $\left(SAB\right)$.

Phương pháp giải:

- Tính diện tích tam giác $SAD$.

- Sử dụng công thức $V_{SADE}={\displaystyle \frac{1}{3}}d.S_{SAD}$ và kết quả câu a để suy ra $d$.

Giải chi tiết:

Gọi $d$ là khoảng cách từ $E$ đến mặt phẳng $\left(SAB\right)$

Ta có: $SD=\sqrt{S{A}^2-A{D}^2}$$=\sqrt{c^2-{\displaystyle \frac{a^2{c}^2}{a^2+c^2}}}={\displaystyle \frac{c^2}{\sqrt{a^2+c^2}}}$

$V_{S.ADE}=V_{E.SAD}$$={\displaystyle \frac{1}{3}}.{\displaystyle \frac{1}{2}}SD.AD.d$ $={\displaystyle \frac{1}{6}}.{\displaystyle \frac{c^2}{\sqrt{a^2+c^2}}}.{\displaystyle \frac{ac}{\sqrt{a^2+c^2}}}.d$ $={\displaystyle \frac{1}{6}}.{\displaystyle \frac{a{c}^3}{a^2+c^2}}.d$

Kết hợp với kết quả trong câu a ta suy ra $d={\displaystyle \frac{b{c}^2}{a^2+b^2+c^2}}$.

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]