Bài 2.16 trang 60 SBT hình học 12

Đề bài

Cho tứ diện SABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có SA = a, AB = b , AC = c . Xác định tâm và bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện trong các trường hợp sau:

a) $\widehat{BAC}={90}^0$

b) $\widehat{BAC}={60}^0$ và $b=c$

c) $\widehat{BAC}={120}^0$ và $b=c$

Lời giải chi tiết

$\widehat{BAC}={90}^0$. Gọi M là trung điểm của BC, ta có MA = MB = MC. Dựng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại M. Mặt phẳng trung trực của đoạn SA cắt d tại O.

Ta có   OS = OA = OB = OC

Và  $r^2=O{A}^2=O{M}^2+M{A}^2=(\frac{a}{2}{)}^2+(\frac{b}{2}{)}^2+(\frac{c}{2}{)}^2$

Do đó ta có hình cầu tâm O ngoại tiếp tứ diện và có $r=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

b) $\widehat{BAC}={60}^0$  và b = c, khi đó ABC là tam giác đều cạnh b. Gọi I là trọng tâm của tam giác đều nên I đồng thời cũng là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC. Dựng d là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại I. Mặt phẳng trung trực của đoạn SA cắt d tại O.

Ta có  OS = OA = OB = OC và r² = OA² = OI² + IA²

Do đó ta có hình cầu tâm O ngoại tiếp tứ diện và có

$r^2=(\frac{a}{2}{)}^2+(\frac{2}{3}b\frac{\sqrt{3}}{2}{)}^2=\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{3}$ . Vậy  $r=\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{3}}$

c) $\widehat{BAC}={120}^0$  và b = c, khi đó ABC là một tam giác cân có góc A ở đỉnh bằng 120⁰ và cạnh bên bằng b. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Kéo dài AM một đoạn MK = AM, ta có KA = KB = KC = AB = AC = b.

Dựng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại K. Mặt phẳng trung trực của đoạn SA cắt d tại O.

Ta có: OS = OA = OB = OC và $r^2=O{A}^2=O{K}^2+K{A}^2=(\frac{a}{2}{)}^2+b^2$

Do đó ta có mặt cầu tâm O ngoại tiếp tứ diện và có bán kính $r=\sqrt{\frac{a^2}{4}+b^2}$

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]