Bài 2.15 trang 60 SBT hình học 12

Đề bài

Cho hai đường thẳng chéo nhau $\mathrm{\Delta }$ và ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }$ có AA’ là đoạn vuông góc chung, trong đó $A\in \mathrm{\Delta }$ và $A^{\prime }\in {\mathrm{\Delta }}^{\prime }$. Gọi $(\alpha )$ là mặt phẳng chứa AA’ và vuông góc với  ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }$ và cho biết AA’ = a. Một đường thẳng thay đổi luôn luôn song song với mặt phẳng $(\alpha )$  lần lượt cắt $\mathrm{\Delta }$ và ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }$  tại M và M’. Hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng $(\alpha )$  là M₁.

a) Xác định tâm O và bán kính r của mặt cầu đi qua 5 điểm A, A’ , M , M’, M₁. Tính diện tích của mặt cầu tâm O nói trên theo a, x = A’M’ và góc $\phi =(\mathrm{\Delta },{\mathrm{\Delta }}^{\prime })$

b) Chứng minh rằng khi x thay đổi mặt cầu tâm O luôn luôn chứa một đường tròn cố định.

Lời giải chi tiết

a) Theo giả thiết ta có: ${\displaystyle \widehat{A^{\prime }{M}^{\prime }M}=\widehat{A^{\prime }AM}=\widehat{A^{\prime }{M}_{1}M}={90}^0}$

Do đó 5 điểm A, A’, M, M’ ,M₁ cùng thuộc mặt cầu (S) tâm O, với O là trung điểm của A’M và có bán kính ${\displaystyle r=\frac{A^{\prime }M}{2}}$

Mặt khác ta có A’M² = A’A² + AM², trong đó  ${\displaystyle \cos \phi =\frac{M{M}_1}{AM}}$  nên ${\displaystyle AM=\frac{M{M}_1}{\cos \phi }=\frac{x}{\cos \phi }}$

Do đó ${\displaystyle A^{\prime }{M}^2=a^2+\frac{x^2}{{\cos }^2\phi }}$

${\displaystyle \Rightarrow A^{\prime }M=\sqrt{\frac{a^2{\cos }^2\phi +x^2}{{\cos }^2\phi }}=\frac{1}{\cos \phi }\sqrt{a^2{\cos }^2\phi +x^2}}$

Mặt cầu tâm O có bán kính ${\displaystyle r=\frac{A^{\prime }M}{2}=\frac{1}{2\cos \phi }\sqrt{a^2{\cos }^2\phi +x^2}}$

Diện tích của mặt cầu tâm O là: ${\displaystyle S=4\pi r^2=\pi (2r{)}^2=\pi (A^{\prime }M{)}^2=\pi (a^2+\frac{x^2}{{\cos }^2\phi })}$

b) Gọi I là trung điểm của đoạn AA’. Ta có IO // ${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ nên tâm O di động trên đường thẳng d cố định đi qua I và song song với ${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$.

Mặt cầu tâm O đi qua hai điểm cố định A, A’, có tâm di động trên đường trung trực d cố định của đoạn AA’.

Vậy mặt cầu tâm O luôn luôn chứa đường tròn cố định tâm I có đường kính AA’ nằm trong mặt phẳng AA’ và vuông góc với d.

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]