Bài 2.30 trang 63 SBT hình học 12

Đề bài

Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $r^{\prime }$. Xét hình chóp $S.ABCD$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, $S$ và $A$ cố định, $SA=h$ cho trước và có đáy $ABCD$ là một tứ giác tùy ý nội tiếp đường tròn đã cho, trong đó các đường chéo $AC$ và $BD$ vuông góc với nhau.

a) Tính bán kính $r$ của mặt cầu đi qua năm đỉnh của hình chóp.

b) Hỏi đáy $ABCD$ là hình gì để thể tích hình chóp đạt giá trị lớn nhất?

Lời giải chi tiết

a) Trong mặt phẳng chứa đường tròn tâm O ngoại tiếp tứ giác ABCD ta kẻ đường kính qua O vuông góc với dây cung AC tại I.

Ta có IA = IC và OI // BD. Gọi O’ là tâm mặt cầu đi qua 5 đỉnh của hình chóp.

Khi đó điểm O’ phải nằm trên trục d của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD.

Ta có ${\displaystyle d\mathrm{\perp }(ABCD)}$ tại O. Gọi M là trung điểm của cạnh SC.

Ta có MI // SA nên ${\displaystyle MI\mathrm{\perp }(ABCD)}$ tại I. Từ M kẻ đường thẳng d’//OI cắt d tại O’.

Vì ${\displaystyle d^{\prime }\mathrm{\perp }(SAC)}$ tại M nên ta có  O’C = O’S và O’C là bán kính r của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

Ta có ${\displaystyle r=O^{\prime }C=\sqrt{OO{}^{\prime 2}+O{C}^2}=\sqrt{M{I}^2+r{}^{\prime 2}}}$

${\displaystyle =\sqrt{{(\frac{h}{2})}^2+r{}^{\prime 2}}}$ ${\displaystyle =\frac{\sqrt{h^2+4r{}^{\prime 2}}}{2}}$

b) Vì SA không đổi nên ta có V_SABCD lớn nhất khi và chỉ khi S_ABCD  lớn nhất.

Ta có ${\displaystyle S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC.BD}$  trong đó AC và BD là hai dây cung vuông góc với nhau.

Vậy AC.BD lớn nhất khi và chỉ khi AC = BD = 2r’ , nghĩa là tứ giác ABCD là một hình vuông.

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]