Bài 2.46 trang 66 SBT hình học 12

Đề bài

Cho hình nón tròn xoay có đỉnh là $S$, $O$ là tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằng $a\sqrt{2}$ và góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng ${60}^0$. Diện tích xung quanh $S_{xq}$ của hình nón và thể tích $V$ của khối nón tương ứng là:

A. $S_{xq}=\pi a^2,V={\displaystyle \frac{\pi a^3\sqrt{6}}{4}}$

B. $S_{xq}={\displaystyle \frac{\pi a^2}{2}},V={\displaystyle \frac{\pi a^3\sqrt{3}}{12}}$

C. $S_{xq}=\pi a^2\sqrt{2},V={\displaystyle \frac{\pi a^3\sqrt{6}}{4}}$

D. $S_{xq}=\pi a^2,V={\displaystyle \frac{\pi a^3\sqrt{6}}{12}}$

Lời giải chi tiết

Gọi $A$ là một điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón.

Đường sinh $SA=a\sqrt{2}$, góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy $\widehat{SAO}={60}^0$.

Tam giác $SAO$ vuông tại $O$ có:

$OA=SA\cos {60}^0={\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}}$; $SO=SA\sin {60}^0$ $=a\sqrt{2}.{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}={\displaystyle \frac{a\sqrt{6}}{2}}$

Diện tích xung quanh hình nón: $S_{xq}=\pi rl=\pi .{\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}}.a\sqrt{2}=\pi a^2$.

Thể tích $V={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi r^{2}h$ $={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi .{\left({\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}}\right)}^2.{\displaystyle \frac{a\sqrt{6}}{2}}={\displaystyle \frac{\pi a^3\sqrt{6}}{12}}$.

Chọn D.

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]