Bài 3.40 trang 131 SBT hình học 12

Đề bài

Cho điểm M(2; -1; 1) và đường thẳng $\mathrm{\Delta }:{\displaystyle \frac{x-1}{2}}={\displaystyle \frac{y+1}{-1}}={\displaystyle \frac{z}{2}}$

a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên đường thẳng $\mathrm{\Delta }$;

b) Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng $\mathrm{\Delta }$.

Lời giải chi tiết

a) Phương trình tham số của $\mathrm{\Delta }:\{\begin{array}{c}x=1+2t\\ y=-1-t\\ z=2t\end{array}$

Xét điểm  $H(1+2t;-1-t;2t)\in \mathrm{\Delta }$

Ta có $\overrightarrow{MH}=(2t-1;-t;2t-1)$, $\overrightarrow{u_{\mathrm{\Delta }}}=(2;-1;2)$

H là hình chiếu vuông góc của M trên $\mathrm{\Delta }\iff \overrightarrow{MH}.\overrightarrow{u_{\mathrm{\Delta }}}=0$

$\iff 2(2t-1)+t+2(2t-1)=0$$\iff t={\displaystyle \frac{4}{9}}$

Ta suy ra tọa độ điểm  $H\left({\displaystyle \frac{17}{9}};{\displaystyle \frac{-13}{9}};{\displaystyle \frac{8}{9}}\right)$

Cách khác:

Gọi $\left(\alpha \right)$ là mặt phẳng đi qua $M$ và vuông góc với $\mathrm{\Delta }$.

Khi đó $\overrightarrow{n_{\alpha }}=\overrightarrow{u_{\mathrm{\Delta }}}=\left(2;-1;2\right)$ là VTPT của $\left(\alpha \right)$

Mà $\left(\alpha \right)$ đi qua $M\left(2;-1;1\right)$ nên:

$\left(\alpha \right):2\left(x-2\right)-\left(y+1\right)+2\left(z-1\right)=0$ hay $2x-y+2z-7=0$

$H=\mathrm{\Delta }\cap \left(\alpha \right)$ nên tọa độ điểm $H$ thỏa mãn hệ phương trình:

$\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=-1-t\\ z=2t\\ 2x-y+2z-7=0\end{array}$ $\Rightarrow 2\left(1+2t\right)-\left(-1-t\right)+2.2t-7=0$

$\iff 9t-4=0\iff t={\displaystyle \frac{4}{9}}$

$\Rightarrow H\left({\displaystyle \frac{17}{9}};-{\displaystyle \frac{13}{9}};{\displaystyle \frac{8}{9}}\right)$

b) H là trung điểm của MM’, suy ra $x_{M^{\prime }}+x_M=2x_H$

Suy ra $x_{M^{\prime }}=2x_H-x_M={\displaystyle \frac{34}{9}}-2={\displaystyle \frac{16}{9}}$

Tương tự, ta được $y_{M^{\prime }}=2y_H-y_M={\displaystyle \frac{-26}{9}}+1={\displaystyle \frac{-17}{9}};$$z_{M^{\prime }}=2z_H-z_M={\displaystyle \frac{16}{9}}-1={\displaystyle \frac{7}{9}}$

Vậy $M^{\prime }\left({\displaystyle \frac{16}{9}};{\displaystyle \frac{-17}{9}};{\displaystyle \frac{7}{9}}\right)$.

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]