Bài 3.61 trang 134 SBT hình học 12

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 0), B(0; 0; 8) và điểm C sao cho $\overrightarrow{AC}=(0;6;0)$. Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA.

Lời giải chi tiết

$\begin{array}{l}C\left(x;y;z\right)\Rightarrow \overrightarrow{AC}=\left(x-2;y;z\right)\\ \overrightarrow{AC}=\left(0,6,0\right)\Rightarrow \{\begin{array}{c}x-2=0\\ y=6\\ z=0\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{c}x=2\\ y=6\\ z=0\end{array}\Rightarrow C\left(2;6;0\right)\end{array}$

I là trung điểm BC nên I(1; 3; 4)

$\overrightarrow{OA}=\left(2;0;0\right)$

$OA$ đi qua O và nhận ${\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{OA}=\left(1;0;0\right)$ làm VTCP

$\Rightarrow OA:\{\begin{array}{l}x=t\\ y=0\\ z=0\end{array}$

Gọi $(\alpha )$ là mặt phẳng đi qua I và vuông góc với OA ta có:

$\left(\alpha \right)\mathrm{\perp }OA\Rightarrow \overrightarrow{n_{\alpha }}={\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{OA}=\left(1;0;0\right)$

Phương trình mặt phẳng $(\alpha )$ là: $x–1=0$

Gọi K(t;0;0) là giao điểm của OA và $(\alpha )$. Tọa độ của K thỏa mãn t-1=0 hay t=1.

Do đó $K(1;0;0)$

Khoảng cách từ I đến OA là: $IK=\sqrt{{(1-1)}^2+{(0-3)}^2+{(0-4)}^2}$ $=5$

Cách khác:

Sau khi tìm được I(1;3;4) và phương trình đường thẳng OA, ta có thể tính khoảng cách ngay như sau:

$d\left(I,OA\right)={\displaystyle \frac{\left|\left[\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OA}\right]\right|}{\left|\overrightarrow{OA}\right|}}$

Mà $\overrightarrow{OI}=\left(1;3;4\right),\overrightarrow{OA}=\left(2;0;0\right)$ nên $\left[\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OA}\right]=\left(0;8;-6\right)$

$\Rightarrow d\left(I,OA\right)={\displaystyle \frac{\sqrt{0+64+36}}{\sqrt{4+0+0}}}=5$.

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]