Bài 17 trang 22 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

LG a

$f\left(x\right)=x^2+2x-5$ trên đoạn $\left[-2;3\right]$;

Lời giải chi tiết:

$D=\left[-2;3\right]$

$f^{\prime }\left(x\right)=2x+2$

$f^{\prime }\left(x\right)=0\iff x=-1\in \left[-2;3\right]$

Ta có: $f\left(-2\right)=-5;f\left(-1\right)=-6;$ $f\left(3\right)=10$.

Vậy: $\underset{x\in \left[-2;3\right]}{minf\left(x\right)}=-6;\underset{x\in \left[-2;3\right]}{maxf\left(x\right)=10}$.

Cách khác:

Hàm số f(x)= x² + 2x – 5

Tập xác định D = R.

Đạo hàm y’= 2x +2 = 0 ⇔ x = - 1

Bảng biến thiên:

Vậy: $\underset{x\in \left[-2;3\right]}{minf\left(x\right)}=-6;\underset{x\in \left[-2;3\right]}{maxf\left(x\right)=10}$.

LG b

$f\left(x\right)=\frac{x^3}{3}+2x^2+3x-4$ trên đoạn $\left[-4;0\right]$;

Lời giải chi tiết:

$D=\left[-4;0\right]$

$f^{\prime }\left(x\right)=x^2+4x+3$

$f^{\prime }\left(x\right)=0\iff [\begin{array}{c}x=-1\in \left[-4;0\right]\hfill \\ x=-3\in \left[-4;0\right]\hfill \end{array}$

Ta có: $f\left(-4\right)=-\frac{16}{3};f\left(-1\right)=-\frac{16}{3};$ $f\left(-3\right)=-4;f\left(0\right)=-4$

Vậy $\underset{x\in \left[-4;0\right]}{minf\left(x\right)}=-\frac{16}{3};$ $\underset{x\in \left[-4;0\right]}{maxf\left(x\right)}=-4$.

LG c

$f\left(x\right)=x+\frac{1}{x}$ trên đoạn $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$;

Lời giải chi tiết:

$D=\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$

$f^{\prime }\left(x\right)=1-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}$ với mọi $x\ne 0$

$f^{\prime }\left(x\right)=0\iff x=\pm 1$

$x=1\in (0;+\mathrm{\infty })$

$x=-1\notin (0;+\mathrm{\infty })$

Vậy $\underset{x\in \left(0;+\mathrm{\infty }\right)}{minf\left(x\right)=f\left(1\right)}=2$.

Hàm số không đạt giá trị lớn nhất trên khoảng $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$.

LG d

$f\left(x\right)=-x^2+2x+4$ trên đoạn $\left[2;4\right]$;

Lời giải chi tiết:

$D=\left[2;4\right]$

$f^{\prime }\left(x\right)=-2x+2$

$f^{\prime }\left(x\right)=0\iff x=1\notin \left[2;4\right]$

Ta có: $f\left(2\right)=4;f\left(4\right)=-4$

Vậy $\underset{x\in \left[2;4\right]}{minf\left(x\right)}=-4;$ $\underset{x\in \left[2;4\right]}{maxf\left(x\right)}=4$.

LG e

$f\left(x\right)=\frac{2x^2+5x+4}{x+2}$ trên đoạn $\left[0;1\right]$;

Lời giải chi tiết:

$D=\left[0;1\right]$

$f^{\prime }\left(x\right)=\frac{2x^2+8x+6}{{\left(x+2\right)}^2}$

$f^{\prime }\left(x\right)=0\iff [\begin{array}{c}x=-1\notin \left[0;1\right]\hfill \\ x=-3\notin \left[0;1\right]\hfill \end{array}$

Ta có: $f\left(0\right)=2;f\left(1\right)=\frac{11}{3}$

Vậy $\underset{x\in \left[0;1\right]}{minf\left(x\right)}=2;$ $\underset{x\in \left[0;1\right]}{maxf\left(x\right)}=\frac{11}{3}$

Cách khác:

Bảng biến thiên:

Vậy $\underset{x\in \left[0;1\right]}{minf\left(x\right)}=2;$ $\underset{x\in \left[0;1\right]}{maxf\left(x\right)}=\frac{11}{3}$

LG f

$f\left(x\right)=x-\frac{1}{x}$ trên đoạn $\left(0;2\right]$;

Lời giải chi tiết:

$D=\left(0;2\right]$

$f^{\prime }\left(x\right)=1+\frac{1}{x^2}>0$ với mọi $x\in \left(0;2\right]$

$f\left(2\right)=\frac{3}{2}$

Vậy $\underset{x\in \left[0;2\right]}{maxf\left(x\right)}=\frac{3}{2}$ .

Hàm số không đạt giá trị nhỏ nhất trên $\left(0;2\right]$.

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]