Bài 16 trang 22 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

2024-09-14 19:38:33

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: $f (x) = \sin^{4} x + \cos^{4} x$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử hằng đẳng thức thu gọn f(x) và đánh giá dựa vào tính chất hàm sin.

Lời giải chi tiết

TXĐ: $D = R$

$\begin{array}{l} f (x) = \sin^{4} x + \cos^{4} x \\ = {(\sin^{2} x)}^{2} + {(\cos^{2} x)}^{2} + 2 \sin^{2} x \cos^{2} x - 2 \sin^{2} x \cos^{2} x \\ = {(\sin^{2} x + \cos^{2} x)}^{2} - 2 \sin^{2} x \cos^{2} x \\ = 1 - \frac{1}{2} .4 \sin^{2} x \cos^{2} x \\ = 1 - \frac{1}{2} {(2 \sin x \cos x)}^{2} \\ = 1 - \frac{1}{2} \sin^{2} 2 x \end{array}$

Ta có:

$\begin{array}{l} \sin^{2} 2 x \geq 0 \Rightarrow \frac{1}{2} \sin^{2} 2 x \geq 0 \\ \Rightarrow 1 - \frac{1}{2} \sin^{2} 2 x \leq 1 - 0 = 1 \end{array}$

$\Rightarrow f (x) \leq 1$ với mọi $x \in R$

Mà $f (0) = 1$ .

Vậy $max_{R} f (x) = 1$

Lại có,

$\begin{array}{l} \sin^{2} 2 x \leq 1 \Rightarrow \frac{1}{2} \sin^{2} 2 x \leq \frac{1}{2} \\ \Rightarrow 1 - \frac{1}{2} \sin^{2} 2 x \geq 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \\ \Rightarrow f (x) \geq \frac{1}{2} \end{array}$

với mọi $x \in R$

Mà $f (\frac{π}{4}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Vậy $\underset{x \in R}{min f (x)} = \frac{1}{2}$ .

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]

Bạn muốn hỏi điều gì?

Đặt Câu Hỏi

We using AI and power community to slove your question

Mẹo tìm đáp án nhanh

Search Google: "từ khóa + hoctot.me" Ví dụ: "Bài 1 trang 15 SGK Vật lí 11 hoctot.me"