Bài 39 trang 36 SGK giải tích 12 nâng cao

Cùng các câu hỏi như trong bài tập 38 đối với đồ thị của hàm số sau:

LG a

$y=\frac{x^2+x-4}{x+2}$

Lời giải chi tiết:

$y=x-1-\frac{2}{x+2}$

TXĐ: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{-2\right\}$

+) Tìm các đường tiệm cận:

$\underset{x\to {\left(-2\right)}^{+}}{lim}y=-\mathrm{\infty }$ và $\underset{x\to {\left(-2\right)}^{-}}{lim}y=+\mathrm{\infty }$ nên $x=-2$ là tiệm cận đứng.
$\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\left[y-\left(x-1\right)\right]=\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\frac{-2}{x+2}=0$ nên $y=x-1$ là tiệm cận xiên.

Chú ý:

Áp dụng cách chia như bài 38 để viết lại hàm số theo lược đồ dưới đây:

+) Tìm giao điểm hai đường tiệm cận:

Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận, tọa độ của I thỏa mãn hệ phương trình 

$\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=x-1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=-2\\ y=-3\end{array}$ $\Rightarrow I\left(-2;-3\right)$

+ Công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI là: $\{\begin{array}{l}x=X-2\\ y=Y-3\end{array}$

+) Phương trình của đường cong (C1) trong hệ tọa độ IXY:

$\begin{array}{l}y=x-1-\frac{2}{x+2}\\ \iff Y-3=X-2-1-\frac{2}{X-2+2}\\ \iff Y=X-\frac{2}{X}\end{array}$

Vậy (C1) trong hệ tọa độ IXY có phương trình $Y=X-\frac{2}{X}$

Đây là hàm số lẻ nên đồ thị (C₁) nhận gốc tọa độ I làm tâm đối xứng.

LG b

$y=\frac{x^2-8x+19}{x-5}$

Lời giải chi tiết:

 Ta có: $y=x-3+\frac{4}{x-5}$ $\left(C_2\right)$

+ Tiệm cận xiên của đồ thị (C₂) là đường thẳng y=x-3

(Vì $\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\left[y-\left(x-3\right)\right]$$=\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\left(x-3+\frac{4}{x-5}-x+3\right)$  $=\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\left(\frac{4}{x-5}\right)=0$)

Tiệm cận đứng của đồ thị là đường thẳng x = 5

(vì $\underset{x\to 5^{+}}{lim}y=\underset{x\to 5^{+}}{lim}\left(x-3+\frac{4}{x-5}\right)=+\mathrm{\infty }$ và $\underset{x\to 5^{-}}{lim}y=\underset{x\to 5^{-}}{lim}\left(x-3+\frac{4}{x-5}\right)=-\mathrm{\infty }$)

+ Giao điểm I của hai tiệm cận có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình $\{\begin{array}{l}x=5\\ y=x-3\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=5\\ y=2\end{array}$

Vậy I(5; 2)

+ Công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo véc tơ OI là $\{\begin{array}{l}x=X+5\\ y=Y+2\end{array}$

+ Phương trình của đường cong (C₂) trong hệ tọa độ IXY:

Ta có:

$\begin{array}{l}y=x-3+\frac{4}{x-5}\\ \iff Y+2=X+5-3+\frac{4}{X+5-5}\\ \iff Y=X+\frac{4}{X}\end{array}$

Đây là hàm lẻ nên đồ thị (C₂) nhận gốc tọa độ I làm tâm đối xứng.

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]