Bài 34 trang 35 SGK giải tích 12 nâng cao

Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số sau:

LG a

$y=\frac{x-2}{3x+2}$

Lời giải chi tiết:

TXĐ: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{-\frac{2}{3}\right\}$
Vì $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x+2}{3x+2}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1-\frac{2}{x}}{3+\frac{2}{x}}=\frac{1}{3}$ và $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=\frac{1}{3}$ nên đường thẳng $y=\frac{1}{3}$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị.
Vì $\underset{x\to {\left(-\frac{2}{3}\right)}^{+}}{lim}y=-\mathrm{\infty }$ $\underset{x\to {\left(-\frac{2}{3}\right)}^{-}}{lim}y=+\mathrm{\infty }$; nên đường thẳng $x=-\frac{2}{3}$ là tiệm cận đứng của đồ thị.

LG b

$y=\frac{-2x-2}{x+3}$

Lời giải chi tiết:

TXĐ: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{-3\right\}$
Vì $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{-2-\frac{2}{x}}{1+\frac{3}{x}}=-2$ và $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=-2$ nên đường thẳng $y=-2$ là tiệm cận ngang của đồ thị.
Vì $\underset{x\to {\left(-3\right)}^{+}}{lim}y=+\mathrm{\infty }$ và $\underset{x\to {\left(-3\right)}^{-}}{lim}y=-\mathrm{\infty }$ nên đường thẳng $x=-3$ là tiệm cận đứng của đồ thị.

LG c

$y=x+2-\frac{1}{x-3}$

Lời giải chi tiết:

TXĐ: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{3\right\}$
Vì $\underset{x\to 3^{+}}{lim}y=-\mathrm{\infty }$ và $\underset{x\to 3^{-}}{lim}y=+\mathrm{\infty }$ nên đường thẳng $x=3$ là tiệm cận đứng của đồ thị.
Ta có: $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left[y-\left(x+2\right)\right]=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{-1}{x-3}=0$ và $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\left[y-\left(x+2\right)\right]=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{-1}{x-3}=0$ nên đường thẳng $y=x+2$ là tiệm cận xiên của đồ thị.

LG d

$y=\frac{x^2-3x+4}{2x+1}$

Phương pháp giải:

Đường thẳng y=ax+b ($a\ne 0$) là TCX của đồ thị hàm số y=f(x) khi và chỉ khi

$a=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{f\left(x\right)}{x},b=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left[f\left(x\right)-ax\right]$

hoặc $a=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{f\left(x\right)}{x},b=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\left[f\left(x\right)-ax\right]$

Lời giải chi tiết:

TXĐ: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{-\frac{1}{2}\right\}$
Vì $\underset{x\to {\left(-\frac{1}{2}\right)}^{+}}{lim}y=+\mathrm{\infty }$ và $\underset{x\to {\left(-\frac{1}{2}\right)}^{-}}{lim}y=-\mathrm{\infty }$ nên đường thẳng $x=-\frac{1}{2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị.
Tiệm cận xiên có dạng $y=ax+b$

$\begin{array}{rl}& a=\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\frac{y}{x}=\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2-3x+4}{x\left(2x+1\right)}=\frac{1}{2}\\ & b=\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\left(y-\frac{x}{2}\right)=\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\left(\frac{x^2-3x+4}{2x+1}-\frac{x}{2}\right)\\ & =\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\frac{-7x+8}{2\left(2x+1\right)}=-\frac{7}{4}\end{array}$

$\underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{lim}y=+\mathrm{\infty }$

Đường thẳng $y=\frac{x}{2}-\frac{7}{4}$ là tiệm cận xiên của đồ thị (khi $x\to +\mathrm{\infty }$ và $x\to -\mathrm{\infty }$).
Cách khác: 
Ta có: $y=\frac{1}{2}.\frac{x^2-3x+4}{x+\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\left(x-\frac{7}{2}+\frac{23}{4\left(x+\frac{1}{2}\right)}\right)$

Vì $\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\left[y-\left(\frac{x}{2}-\frac{7}{4}\right)\right]=\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\frac{23}{8\left(x+\frac{1}{2}\right)}=0$ nên đường thẳng $y=\frac{x}{2}-\frac{7}{4}$ là tiệm cận xiên của đồ thị.

LG e

$y=\frac{x+2}{x^2-1}$

Lời giải chi tiết:

TXĐ: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{-1;1\right\}$
* Vì $\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}y=0$ nên đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị.
* $\underset{x\to 1^{+}}{lim}y=\underset{x\to 1^{+}}{lim}\frac{x+2}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}=+\mathrm{\infty }$ và $\underset{x\to 1^{-}}{lim}y=\underset{x\to 1^{-}}{lim}\frac{x+2}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}=-\mathrm{\infty }$ nên đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị.
* $\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{lim}y=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{lim}\frac{x+2}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}=-\mathrm{\infty }$ và $\underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{lim}y=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{lim}\frac{x+2}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}=+\mathrm{\infty }$ nên đường thẳng $x=-1$ là tiệm cận đứng của đồ thị.

LG f

$y=\frac{x}{x^3+1}$

Lời giải chi tiết:

TXĐ: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{-1\right\}$
* Vì $\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}y=0$ nên $y=0$ là tiệm cận ngang
* $\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{lim}y=-\mathrm{\infty }$ và $\underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{lim}y=+\mathrm{\infty }$ nên $x=-1$ là tiệm cận đứng.

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]