Bài 64 trang 57 SGK giải tích 12 nâng cao

Cho hàm số $y=\frac{a{x}^2-bx}{x-1}$

LG a

Tìm $a$ và $b$ biết rằng đồ thị $(C)$ của hàm số đã cho đi qua điểm $A\left(-1;\frac{5}{2}\right)$ và tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm $O(0;0)$ có hệ số bằng $-3$.

Lời giải chi tiết:

$y^{\prime }=\frac{\left(2ax-b\right)\left(x-1\right)-\left(a{x}^2-bx\right)}{{\left(x-1\right)}^2}$ $=\frac{a{x}^2-2ax+b}{{\left(x-1\right)}^2}$

Đồ thị $(C)$ đi qua $A\left(-1;\frac{5}{2}\right)$ $\iff y\left(-1\right)=\frac{5}{2}\iff \frac{a+b}{-2}=\frac{5}{2}$ $\iff a+b=-5\left(1\right)$

Tiếp tuyến của $(C)$ tại $O(0;0)$ có hệ số góc bằng $-3$ khi và chỉ khi $y^{\prime }(0)=-3$ $\iff \frac{a{.0}^2-2a.0+b}{{\left(0-1\right)}^2}=-3$ $\iff b=-3\left(2\right)$

Từ (1) và (2) suy ra $a=-2;b=-3$.

LG b

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với các giá trị của $a$ và $b$ đã tìm được.

Lời giải chi tiết:

Với $a=-2;b=-3$ ta có: $y=\frac{-2x^3+3x}{x-1}$

Tập xác định: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{1\right\}$

$y^{\prime }=\frac{-2x^2+4x-3}{{(x-1)}^2}<0\mathrm{\forall }x\in D$

Hàm số nghịch biến trên khoảng: $(-\mathrm{\infty };1)$ và $(1;+\mathrm{\infty })$

Hàm số không có cực trị

Giới hạn:

$\underset{x\to 1^{-}}{limy}=-\mathrm{\infty };\underset{x\to 1^{+}}{limy}=+\mathrm{\infty }$

Tiệm cận đứng là: $x=1$

$\begin{array}{rl}& a=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{y}{x}\\ & =\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{-2x^2+3x}{x^2-x}=-2\\ & b=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(y+2x)\\ & =\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\left(\frac{-2x^2+3x}{x-1}+2x\right)=1\end{array}$

Tiệm cận xiên là: $y=-2x+1$

Bảng biến thiên:

Đồ thị giao $Oy$ tại điểm $(0;0)$ và $\left(\frac{3}{2};0\right)$

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]