Bài 78 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

LG a

Vẽ đồ thị (P) của hàm số $y=x^2-x+1$ và đồ thị (H) của hàm số $y=\frac{1}{x+1}$.

Lời giải chi tiết:

Vẽ (P):

(P) là parabol có đỉnh $\left(\frac{1}{2};\frac{3}{4}\right)$, bề lõm hướng lên trên, đi qua điểm $\left(0;1\right)$, $\left(1;1\right)$

Vẽ (H):

$y^{\prime }=-\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}<0,\mathrm{\forall }x\ne -1$ nên hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-1\right)$ và $\left(-1;+\mathrm{\infty }\right)$

Đồ thị có TCĐ $x=-1$, TCN $y=0$

Đi qua các điểm $\left(0;1\right),\left(-2;-1\right)$

LG b

Tìm giao điểm của hai đường cong (P) và (H). Chứng minh rằng hai đường cong đó có tiếp tuyến chung tại giao điểm của chúng.

Lời giải chi tiết:

Hoành độ giao điểm của parabol (P) và hypebol (H) là nghiệm của phương trình:

$x^2-x+1=\frac{1}{x+1}$ $\Rightarrow \left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)=1$

$\iff x^3+1=1\iff x=0$

$\Rightarrow y\left(0\right)=1$

Giao điểm của (P) và (H) là A(0;1)

Đặt $f\left(x\right)=x^2-x+1;g\left(x\right)=\frac{1}{x+1}$

Ta có: $f^{\prime }\left(x\right)=2x-1;g^{\prime }\left(x\right)=-\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}$

$f^{\prime }\left(0\right)=g^{\prime }\left(0\right)=-1$

Suy ra (P) và (H) có tiếp tuyến chung tại A nên (P) và (H) tiếp xúc nhau tại điểm A.

Khi đó tiếp tuyến chung của (P) và (H) tại A(0;1) có hệ số góc k=-1 nên có phương trình:

y=-1(x-0)+1 hay y=-x+1.

Chú ý:

Việc tìm giao điểm có thể suy ra từ việc quan sát đồ thị ta cũng thấy giao điểm là (0;1).

LG c

Xác định các khoảng trên đó (P) nằm phía trên hoặc phía dưới (H).

Lời giải chi tiết:

Xét hiệu $f\left(x\right)-g\left(x\right)=x^2-x+1-\frac{1}{x+1}$ $=\frac{x^3}{x+1}$

Bảng xét dấu f(x) – g(x)

Từ bảng xét dấu ta thấy,

$f\left(x\right)>g\left(x\right)$ $\iff f\left(x\right)-g\left(x\right)>0$ $\iff [\begin{array}{l}x>0\\ x<-1\end{array}$

Do đó, trên các khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-1\right)$ và $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$ thì (P) nằm phía trên (H).

$f\left(x\right)<g\left(x\right)$ $\iff f\left(x\right)-g\left(x\right)<0$ $\iff -1<x<0$ nên trên khoảng $\left(-1;0\right)$ thì (P) nằm phía dưới (H).

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]