Bài 74 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

Cho hàm số: $f\left(x\right)=x^3-3x+1$

LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

Lời giải chi tiết:

Tập xác định $D=\mathbb{R}$

$f^{\prime }\left(x\right)=3x^2-3$

$f^{\prime }(x)=0\iff [\begin{array}{c}x=1\hfill \\ x=-1\hfill \end{array}$

Hàm số đồng biến trên khoảng: $\left(-\mathrm{\infty };-1\right)$ và $\left(1;+\mathrm{\infty }\right)$

 Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1;1)$

+) Cực trị:

 Hàm số đạt cực đại tại $x=-1;y(-1)=3$

 Hàm số đạt cực tiểu tại $x=1;y(1)=-1$

+) Giới hạn:

$\begin{array}{rl}& \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }\\ & \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty }\end{array}$

 Bảng biến thiên:

Đồ thị

Đồ thị giao trục $Oy$ tại điểm $(0;1)$

Hàm số đồ thị nhận $I(0;1)$  làm tâm đối xứng

LG b

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn U của nó.

Lời giải chi tiết:

$f^{\prime }\left(x\right)=3x^2-3$

$f^{″}\left(x\right)=6x$

$f^{″}\left(x\right)=0\iff x=0;f^{\prime }(0)=-3$

$f\left(0\right)=1$. Điểm uốn U(0;1)

Phương tiếp tuyến của (C) tại U là:

$y-1=f^{\prime }\left(0\right)\left(x-0\right)$ $\iff y=-3x+1$

LG c

Gọi $\left(d_m\right)$ là đường thẳng đi qua điểm U và có hệ số góc m. Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng $\left(d_m\right)$ cắt đồ thị của hàm số đã cho tại ba điểm phân biệt.

Lời giải chi tiết:

Phương trình đường thẳng $\left(d_m\right)$ là y = mx +1.

Hoành độ giao điểm của đường thẳng $\left(d_m\right)$ và đường cong (C) là nghiệm của phương trình

$x^3-3x+1=mx+1$ $\iff x^3-\left(m+3\right)x=0$

$\iff [\begin{array}{c}x=0\hfill \\ x^2=m+3(2)\hfill \end{array}$

$\left(d_m\right)$ cắt (C) tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi (1) có 3 nghiệm phân biệt

$\iff \left(2\right)$ có hai nghiệm phân biệt khác 0, tức $m+3>0\iff m>-3$

Chú ý:

ĐK tổng quát các em có thể dùng: 

(1) có 3 nghiệm phân biệt $\iff \left(2\right)$ có hai nghiệm phân biệt khác 0

$\iff \{\begin{array}{l}{\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0\\ f\left(0\right)\ne 0\end{array}$

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]