Bài 78 trang 127 SGK giải tích 12 nâng cao

Giải phương trình

LG a

${\left(\frac{1}{3}\right)}^x=x+4;$

Lời giải chi tiết:

Với $x<-1$ ta có:

$\begin{array}{l}VT={\left(\frac{1}{3}\right)}^x>{\left(\frac{1}{3}\right)}^{-1}=3\\ VP=x+4<-1+4=3\end{array}$

Do đó ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x>3>x+4$ nên phương trình không có nghiệm $x<-1$

Với $x>-1$ ta có:

$\begin{array}{l}VT={\left(\frac{1}{3}\right)}^x<{\left(\frac{1}{3}\right)}^{-1}=3\\ VP=x+4>-1+4=3\end{array}$

Do đó ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x<{\left(\frac{1}{3}\right)}^{-1}=3<x+4$ nên phương trình không có nghiệm $x>-1$

Dễ thấy với x=-1 thì $VT=3=VP$.

Vậy $S=\left\{-1\right\}$

LG b

${\left(\sin \frac{\pi }{5}\right)}^x+{\left(\cos \frac{\pi }{5}\right)}^x=1.$

Lời giải chi tiết:

Do $0<\sin \frac{\pi }{5}<1$ và $0<\cos \frac{\pi }{5}<1$ nên:

Nếu $x>2$ thì:

${\left(\sin \frac{\pi }{5}\right)}^x<{\left(\sin \frac{\pi }{5}\right)}^2$

${\left(\cos \frac{\pi }{5}\right)}^x<{\left(\cos \frac{\pi }{5}\right)}^2$

$\Rightarrow {\left(\sin \frac{\pi }{5}\right)}^x+{\left(\cos \frac{\pi }{5}\right)}^x$

$<{\left(\sin \frac{\pi }{5}\right)}^2+{\left(\cos \frac{\pi }{5}\right)}^2=1$

Do đó VT < VP nên phương trình không có nghiệm khi $x>2$

Nếu $x<2$ thì:

${\left(\sin \frac{\pi }{5}\right)}^x>{\left(\sin \frac{\pi }{5}\right)}^2$

${\left(\cos \frac{\pi }{5}\right)}^x>{\left(\cos \frac{\pi }{5}\right)}^2$

$\Rightarrow {\left(\sin \frac{\pi }{5}\right)}^x+{\left(\cos \frac{\pi }{5}\right)}^x$

$>{\left(\sin \frac{\pi }{5}\right)}^2+{\left(\cos \frac{\pi }{5}\right)}^2=1$

Do đó VT > VP nên phương trình không có nghiệm khi $x<2$

Dễ thấy với x=2 thì VT=VP=1 nên x=2 là nghiệm của phương trình.

Vậy $S=\left\{2\right\}$

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]