Bài 96 trang 132 SGK giải tích 12 nâng cao

Giải các hệ phương trình:

LG a

$\{\begin{array}{c}{\log }_2\left(x-y\right)=5-{\log }_2\left(x+y\right)\hfill \\ \frac{\log x-\log 4}{\log y-\log 3}=-1\hfill \end{array}$

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: 

$\{\begin{array}{c}x>0;y>0\hfill \\ x-y>0;x+y>0\hfill \end{array}\iff x>y>0$

Khi đó,

$\{\begin{array}{c}{\log }_2\left(x-y\right)=5-{\log }_2\left(x+y\right)\hfill \\ \frac{\log x-\log 4}{\log y-\log 3}=-1\hfill \end{array}$

$\begin{array}{l}\iff \{\begin{array}{c}{\log }_2\left(x-y\right)+{\log }_2\left(x+y\right)=5\\ \log x-\log 4=-\log y+\log 3\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{c}{\log }_2\left[\left(x-y\right)\left(x+y\right)\right]=5\\ \log x+\log y=\log 3+\log 4\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{c}{\log }_2\left(x^2-y^2\right)=5\\ \log \left(xy\right)=\log 12\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{c}{x}^2-y^2=2^5=32\\ xy=12\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{c}y=\frac{12}{x}\\ x^2-\frac{144}{x^2}=32\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{c}y=\frac{12}{x}\\ x^4-32x-144=0\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{c}y=\frac{12}{x}\\ [\begin{array}{c}{x}^2=36\\ x^2=-4\left(loai\right)\end{array}\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{c}y=\frac{12}{x}\\ [\begin{array}{c}x=6\left(TM\right)\\ x=-6\left(loai\right)\end{array}\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{c}x=6\\ y=2\end{array}\left(TM\right)\end{array}$

Vậy $S=\left\{\left(6;2\right)\right\}$

LG b

$\{\begin{array}{c}2{\log }_{2}x-3^y=15\hfill \\ 3^y.{\log }_{2}x=2{\log }_{2}x+3^{y+1}\hfill \end{array}$

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: $x>0$.

Đặt $\{\begin{array}{l}u={\log }_{2}x\\ v=3^y>0\end{array}$ ta có hệ phương trình:

$\{\begin{array}{c}2u-v=15\left(1\right)\hfill \\ u.v=2u+3v\left(2\right)\hfill \end{array}$

Từ (1) suy ra $v=2u–15$, thay vào (2) ta được:

$\begin{array}{rl}& u\left(2u-15\right)=2u+3\left(2u-15\right)\\ & \iff 2u^2-23u+45=0\\ & \iff \{\begin{array}{c}u=9\\ u=\frac{5}{2}\end{array}\end{array}$

Với $u=9\Rightarrow v=2.9-15=3\left(TM\right)$

Với $u=\frac{5}{2}\Rightarrow v=2.\frac{5}{2}-15=-10\left(loai\right)$

Vậy 

$\{\begin{array}{c}u=9\hfill \\ v=3\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}{\log }_{2}x=9\hfill \\ 3^y=3\hfill \end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}x=2^9=512\hfill \\ y=1\hfill \end{array}$

Vậy $S=\left\{\left(512;1\right)\right\}$

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]