Bài 89 trang 131 SGK giải tích 12 nâng cao

2024-09-14 19:39:57

Đề bài

Chứng minh rằng hàm số $y = \ln \frac{1}{1 + x}$ thỏa mãn hệ thức $x y^{'} + 1 = e^{y}$

Lời giải chi tiết

Điều kiện: $x > - 1$ .

Ta có $y = \ln 1 - \ln (1 + x) = - \ln (1 + x)$

$\Rightarrow y^{'} = - \frac{{(1 + x)}^{'}}{1 + x} = - \frac{1}{1 + x}$

Khi đó: $x y^{'} + 1 = \frac{- x}{1 + x} + 1 = \frac{- x + 1 + x}{1 + x} = \frac{1}{1 + x}$

Lại có $e^{y} = e^{\ln (\frac{1}{1 + x})} = \frac{1}{1 + x}$

Vậy $x y^{'} + 1 = e^{y}$

Chú ý:

Các em có thể tính đạo hàm cách khác nhưng dài hơn như sau:

$\begin{array}{l} y = \ln \frac{1}{1 + x} \\ y^{'} = \frac{{(\frac{1}{1 + x})}^{'}}{\frac{1}{1 + x}} = {(\frac{1}{1 + x})}^{'} : \frac{1}{1 + x} \\ = - \frac{{(1 + x)}^{'}}{{(1 + x)}^{2}} . (1 + x) \\ = - \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} . (1 + x) \\ = - \frac{1}{1 + x} \end{array}$

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]

Bạn muốn hỏi điều gì?

Đặt Câu Hỏi

We using AI and power community to slove your question

Mẹo tìm đáp án nhanh

Search Google: "từ khóa + hoctot.me" Ví dụ: "Bài 1 trang 15 SGK Vật lí 11 hoctot.me"