Bài 10 Trang 152 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Không tìm nguyên hàm hãy tính các tích phân sau:

LG a

$\underset{-2}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{x}{2}+3\right)dx;$

Lời giải chi tiết:

Vẽ đồ thị y=(x/2)+3, các đường thẳng $x=-2,y=4$.

Tích phân cần tính là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y=x/2+3, các đường thẳng x\-2, x=4 và trục hoành.

Tích phân đó bằng diện tích hình thang ABCD với AD=2, BC=5, AB=6.

Diện tích đó là $\left(2+5\right)\frac{6}{2}=21.$ 

Vậy $\underset{-2}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{x}{2}+3\right)dx=21.$

LG b

 $\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left|x\right|dx$ 

Lời giải chi tiết:

Vẽ đồ thị y=|x|

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = |x|, trục hoành x = -1, x = 2 bằng tổng diện tích tam giác vuông tô màu.

Từ hình trên ta thấy hình A gồm 2 tam giác.

Do đó tích phân bằng diện tích của A và bằng:

$\frac{1}{2}.1.1+\frac{1}{2}2.2=0,5+2=2,5$ 

Vậy $\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left|x\right|dx=\frac{5}{2}$.

LG c

$\underset{-3}{\overset{3}{\int }}\sqrt{9-x^2}dx$

Phương pháp giải:

Áp dụng định lí 1.

Lời giải chi tiết:

Vẽ nửa đường tròn $x^2+y^2=9$.

Tích phân bằng diện tích nửa hình tròn $x^2+y^2=9$(hình).

Đây là đường tròn tâm là gốc tọa độ bán kính là R=3.

Do đó diện tích nửa hình tròn là ${\displaystyle \frac{1}{2}}\pi R^2={\displaystyle \frac{1}{2}}\pi {.3}^2={\displaystyle \frac{9\pi }{2}}$

Vậy $\underset{-3}{\overset{3}{\int }}\sqrt{9-x^2}dx=4,5\pi$

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]