Bài 25 trang 199 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

LG a

Tìm các số thực b, c để phương trình (với ẩn z): $z^2+bz+c=0$ nhận $z=1+i$ làm một nghiệm.

Phương pháp giải:

Phương trình $f(z)=0$ nhận $z=z_0$ làm nghiệm nếu $f(z_0)=0$

Lời giải chi tiết:

$1+i$ là một nghiệm của phương trình $z^2+bz+c=0$ khi và chỉ khi

${\left(1+i\right)}^2+b\left(1+i\right)+c=0$ $\iff 1+2i-1+b+bi+c=0$ $\iff 2i+b+bi+c=0$

$\iff b+c+\left(2+b\right)i=0$ $\iff \{\begin{array}{c}b+c=0\hfill \\ 2+b=0\hfill \end{array}$ $\iff \{\begin{array}{c}b=-2\hfill \\ c=2\hfill \end{array}$

LG b

Tìm các số thực a, b, c để phương trình (với ẩn z):

$z^3+a{z}^2+bz+c=0$

nhận $z=1+i$ làm nghiệm và cũng nhận $z=2$ là nghiệm.

Lời giải chi tiết:

$1+i$ là một nghiệm của $z^3+a{z}^2+bz+c=0$  khi và chỉ khi

${\left(1+i\right)}^3+a{\left(1+i\right)}^2+b\left(1+i\right)+c=0$ $\iff \left(1+3i+3i^2+i^3\right)+a\left(1+2i-1\right)$ $+b+bi+c=0$ $\iff \left(1+3i-3-i\right)+a.2i$ $+b+bi+c=0$ $\iff -2+2i+2ai+b+c+bi=0$

$\iff \left(b+c-2\right)+\left(2+2a+b\right)i=0$

$\iff \{\begin{array}{c}b+c-2=0\left(1\right)\hfill \\ 2a+b+2=0\left(2\right)\hfill \end{array}$

$2$ là nghiệm của $z^3+a{z}^2+bz+c=0$ khi và chỉ khi $8+4a+2b+c=0\left(3\right)$

Từ (1), (2), (3) ta có hệ: .$\{\begin{array}{c}b+c=2\hfill \\ 2a+b=-2\hfill \\ 4a+2b+c=-8\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}a=-4\hfill \\ b=6\hfill \\ c=-4\hfill \end{array}$ 

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]