Bài 19 trang 196 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Tìm nghiệm phức của các phương trình bậc hai sau:

LG a

$z^2=z+1$;

Phương pháp giải:

Tính $\mathrm{\Delta }$ và sử dụng công thức nghiệm.

Lời giải chi tiết:

Ta có $z^2=z+1$ $\iff z^2-z=1$ $\iff z^2-z+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$

$\iff {\left(z-\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{5}{4}$ $\iff z-\frac{1}{2}=\pm \frac{\sqrt{5}}{2}$ $\iff z=\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{5}}{2}$

Cách khác:

$z^2=z+1$ $\iff z^2-z-1=0$

Ta có: $\mathrm{\Delta }=1^2-4.\left(-1\right)=5>0$ nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $z_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$.

LG b

$z^2+2z+5=0$

Lời giải chi tiết:

$z^2+2z+5=0$ $\iff {\left(z+1\right)}^2=-4={\left(2i\right)}^2$ $\iff [\begin{array}{c}z+1=2i\hfill \\ z+1=-2i\hfill \end{array}$ $\iff [\begin{array}{c}z=-1+2i\hfill \\ z=-1-2i\hfill \end{array}$

Vậy $S=\left\{-1+2i;-1-2i\right\}$

Cách khác:

Ta có: ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=1^2-1.5=-4<0$ có một căn bậc hai là $2i$ nên phương trình đã cho có hai nghiệm phức $z_{1,2}=-1\pm 2i$.

LG c

$z^2+\left(1-3i\right)z-2\left(1+i\right)=0$.

Lời giải chi tiết:

$z^2+\left(1-3i\right)z-2\left(1+i\right)=0$ có biệt thức

$\mathrm{\Delta }={\left(1-3i\right)}^2+8\left(1+i\right)$ $=1-9-6i+8+8i=2i={\left(1+i\right)}^2$

Do đó phương trình có hai nghiệm là: $z_1=\frac{1}{2}\left[-1+3i+\left(1+i\right)\right]=2i$

$z_2=\frac{1}{2}\left[-1+3i-\left(1+i\right)\right]=-1+i$

Vậy $S=\left\{2i;-1+i\right\}$

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]