Bài 38 trang 209 SGK giải tích 12 nâng cao

2024-09-14 19:40:47

Đề bài

Chứng minh rằng $| z | = | w | = 1$ thì số $\frac{z + w}{1 + z w}$ là số thực (giả sử $1 + z w \neq 0$ ).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng tính chất:

Số phức z=a+bi là số thực nếu $\overset{―}{z} = z$

Lời giải chi tiết

Ta có $z . \overset{―}{z} = {| z |}^{2} = 1 \Rightarrow \overset{―}{z} = \frac{1}{z}$ . Tương tự $\overset{―}{w} = \frac{1}{w}$

Do đó $\overset{―}{(\frac{z + w}{1 + z w})} = \frac{\overset{―}{z} + \overset{―}{w}}{1 + \overset{―}{z} . \overset{―}{w}} = \frac{\frac{1}{z} + \frac{1}{w}}{1 + \frac{1}{z} . \frac{1}{w}} = \frac{z + w}{1 + z w}$ .

Suy ra $\frac{z + w}{1 + z w}$ là số thực.

Cách khác:

Giả sử z=a+bi,w=a'+b'i với a²+b²=a'²+b'²=1 và 1+zw ≠ 0

Vì |z| = 1 nên z.z−=1

Khi đó, ta có:

Xét phần ảo ở trên tử số ta có: (b+b' )(1+aa'-bb' )-(a+a' )(a' b+ab' )

=b+baa'-b²b'+b'+b' aa'-bb'²-aa' b-a² b'-a'² b-a'ab'

=b+b'-b' (a²+b² )-b(b'²+a'² )=b+b'-b'-b=0

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]

Bạn muốn hỏi điều gì?

Đặt Câu Hỏi

We using AI and power community to slove your question

Mẹo tìm đáp án nhanh

Search Google: "từ khóa + hoctot.me" Ví dụ: "Bài 1 trang 15 SGK Vật lí 11 hoctot.me"