Bài 20 trang 28 SGK Hình học 12 Nâng cao

Cho khối lăng trụ tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$, điểm $A^{\prime }$ cách đều ba điểm $A,B,C$, cạnh bên $A{A}^{\prime }$ tạo với mặt phẳng đáy một góc ${60}^0$.

LG a

Tính thể tích của khối lăng trụ đó.

Lời giải chi tiết:

Gọi $O$ là tâm của tam giác đều $ABC$.

Vì $A^{\prime }$ cách đều ba đỉnh $A,B,C$ nên $A^{\prime }$ nằm trên trục của $\mathrm{\Delta }ABC$, do đó $A^{\prime }O\mathrm{\perp }mp\left(ABC\right)$
$AO$ là hình chiếu của $A{A}^{\prime }$ trên mp $(ABC)$. Do đó $\widehat{A^{\prime }AO}={60}^0$

Trong tam giác vuông $A^{\prime }OA$ ta có: $\tan {60}^0=\frac{A^{\prime }O}{AO}$ $\Rightarrow A^{\prime }O=AO.\tan {60}^0$ $=\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\sqrt{3}=a$
Vậy thể tích khối lăng trụ là $V=B.h=S_{ABC}.A^{\prime }O$ $=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.a=\frac{a^3\sqrt{3}}{4}$

LG b

Chứng minh rằng mặt bên $BCC{B}^{\prime }$ là một hình chữ nhật.

Lời giải chi tiết:

Vì $BC\mathrm{\perp }AO$ và $BC\mathrm{\perp }{A}^{\prime }O$

$\Rightarrow BC\mathrm{\perp }\left(AO{A}^{\prime }\right)$ $\Rightarrow BC\mathrm{\perp }A{A}^{\prime }$ hay $BC\mathrm{\perp }B{B}^{\prime }$ .

Vậy $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ là hình chữ nhật.

LG c

Tính tổng diện tích các mặt bên của hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ (tổng đó gọi là diện tích xung quanh của hình (hoặc khối) lăng trụ đã cho).

Lời giải chi tiết:

Gọi $H$ là trung điểm của $AB$.

Ta có $AB\mathrm{\perp }\left(A^{\prime }HO\right)\Rightarrow A^{\prime }H\mathrm{\perp }AB$.

Trong tam giác vuông $A^{\prime }OH$, ta có:

$A^{\prime }{H}^2=A^{\prime }{O}^2+O{H}^2$ $=a^2+{\left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)}^2=\frac{13a^2}{12}$

$\Rightarrow A^{\prime }H=\frac{a\sqrt{13}}{2\sqrt{3}}$
Diện tích hình bình hành $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ : $S_{AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }}=AB.AH=a^2\frac{\sqrt{13}}{2\sqrt{3}}$
Tương tự $S_{AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }}=\frac{a^2\sqrt{13}}{2\sqrt{3}}$
Diện tích hình chữ nhật $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ là: $S_{BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }}=B{B}^{\prime }.BC=A{A}^{\prime }.BC$ $=\frac{AO}{\cos {60}^0}.a=\frac{2a^2\sqrt{3}}{3}$
Vậy diện tích xung quanh hình lăng trụ là:

$S_{xq}=2S_{A{A}^{\prime }{B}^{\prime }B}+S_{BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }}$ $=\frac{a^2\sqrt{13}}{\sqrt{3}}+\frac{2a^2\sqrt{3}}{3}$ $=\frac{a^2\sqrt{3}}{3}\left(\sqrt{13}+2\right)$

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]