Bài 5 trang 31 SKG Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Cho khối lăng trụ đểu $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ và $M$ là trung điểm của cạnh $AB$. Mặt phẳng $(B^{\prime }{C}^{\prime }M)$ chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó.

Lời giải chi tiết

Gọi $I$ là giao điểm của đường thẳng $B^{\prime }M$ với $A{A}^{\prime }$; $N$ là giao điểm của $I{C}^{\prime }$ với $AC$. Khi đó $A$ là trung điểm của $A^{\prime }I$ và $N$ là trung điểm của $AC$.

Đặt $S_{ABC}=S$ và $A{A}^{\prime }=h$

Thiết diện của mp $(B^{\prime }{C}^{\prime }M)$ với khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là hình thang cân $MN{C}^{\prime }{B}^{\prime }$. Mp $(B^{\prime }{C}^{\prime }M)$ chia khối lăng trụ thành hai phần, phần chứa cạnh $A{A}^{\prime }$ có thể tích là $V_1$, phần còn lại có thể tích là $V_2$. Khi đó ta có:

$\begin{array}{rl}& V_1=V_{AMN.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}\\ & =V_{I.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}-V_{I.AMN}\\ & =\frac{1}{3}{S}_{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}.A^{\prime }I-\frac{1}{3}{S}_{AMN}.AI\\ & =\frac{1}{3}S.2h-\frac{1}{3}.\frac{S}{4}h\\ & =\frac{2}{3}Sh-\frac{1}{12}Sh=\frac{7}{12}Sh\\ & =\frac{7}{12}\left(V_1+V_2\right)\\ & \Rightarrow 12V_1=7V_1+7V_2\iff 5V_1=7V_2\\ & \Rightarrow \frac{V_1}{V_2}=\frac{7}{5}\end{array}$

Cách trình bày khác:

Ta có: $\frac{IA}{I{A}^{\prime }}=\frac{IM}{IB}=\frac{IN}{I{C}^{\prime }}=\frac{AM}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{1}{2}$

$V_1=V_{AMN.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}$ $=V_{I.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}-V_{I.AMN}$

$V_{I.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{1}{3}{S}_{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}.A^{\prime }I$ $=\frac{1}{3}S.2h=\frac{2}{3}Sh=\frac{2}{3}V$

$\frac{V_{I.AMN}}{V_{I.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}}=\frac{IA}{I{A}^{\prime }}.\frac{IM}{I{B}^{\prime }}.\frac{IN}{I{C}^{\prime }}$ $=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$

$\Rightarrow V_{I.AMN}=\frac{1}{8}{V}_{I.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}$ $=\frac{1}{8}.\frac{2}{3}V=\frac{1}{12}V$

$\Rightarrow V_1=\frac{2}{3}V-\frac{1}{12}V=\frac{7}{12}V$

$\Rightarrow V_2=V-V_1$ $=V-\frac{7}{12}V=\frac{5}{12}V$

$\Rightarrow \frac{V_1}{V_2}=\frac{7}{12}V:\frac{5}{12}V=\frac{7}{5}$

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]