Bài 13 trang 82 SGK Hình học 12 Nâng cao

Tìm toạ độ tâm và tính bán kính của mỗi mặt cầu sau đây :

LG a

$x^2+y^2+z^2-8x+2y+1=0$

Phương pháp giải:

Biến đổi phương trình về dạng ${\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2+{\left(z-c\right)}^2=R^2$ suy ra tâm I(a;b;c) bán kính R.

Hoặc mặt cầu $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$ có tâm I(a;b;c) bán kính R=$\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}$

Lời giải chi tiết:

Ta có

$\begin{array}{rl}& x^2+y^2+z^2-8x+2y+1=0\\ & \iff \left(x^2-8x+16\right)+\left(y^2+2y+1\right)+z^2=16\\ & \iff {\left(x-4\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2+z^2=16\end{array}$

Mặt cầu có tâm $I\left(4;-1;0\right)$ và có bán kính R = 4.

Cách khác:

Ta có: a=4,b=-1,c=0,d=1 và $R=\sqrt{16+1+0-1}=4$.

Vậy tâm $I\left(4;-1;0\right)$ và có bán kính R = 4.

LG b

$3x^2+3y^2+3z^2+6x-3y+15z-2=0$

Lời giải chi tiết:

Ta có

$\begin{array}{rl}& 3x^2+3y^2+3z^2+6x-3y+15z-2=0\\ & \iff x^2+y^2+z^2+2x-y+5z-\frac{2}{3}=0\\ & \iff {\left(x+1\right)}^2+{\left(y-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(z+\frac{5}{2}\right)}^2=\frac{49}{6}\end{array}$

Mặt cầu có tâm $I\left(-1;\frac{1}{2};-\frac{5}{2}\right)$ và có bán kính $R=\frac{7\sqrt{6}}{6}$.

Cách khác:

Ta có: a=-1,b=1/2,c=-5/2,d=-2/3 và $R=\sqrt{1+\frac{1}{4}+\frac{25}{4}+\frac{2}{3}}=\frac{7\sqrt{6}}{6}$.

Vậy tâm $I\left(-1;\frac{1}{2};-\frac{5}{2}\right)$ và có bán kính $R=\frac{7\sqrt{6}}{6}$.

LG c

$9x^2+9y^2+9z^2-6x+18y+1=0$

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{rl}& 9x^2+9y^2+9z^2-6x+18y+1=0\\ & \iff x^2+y^2+z^2-\frac{2}{3}x+2y+\frac{1}{9}=0\\ & \iff {\left(x-\frac{1}{3}\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2+z^2=1\end{array}$

Mặt cầu có tâm $I\left(\frac{1}{3};-1;0\right)$ và có bán kính R = 1.

Cách khác:

Ta có: a=1/3,b=-1,c=0,d=1/9 và $R=\sqrt{\frac{1}{9}+1+0-\frac{1}{9}}=1$.

Vậy tâm $I\left(\frac{1}{3};-1;0\right)$ và có bán kính R = 1.

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]