Bài 15 trang 89 SGK Hình học 12 Nâng cao

Trong mỗi trường hợp sau, viết phương trình mặt phẳng:

LG a

Đi qua ba điểm $M\left(2;0;-1\right);N\left(1;-2;3\right);P\left(0;1;2\right)$;

Phương pháp giải:

MP đi qua 3 điểm M, N, P thì đi qua M và có VTPT cùng phương với véc tơ $\left[\overrightarrow{MN},\overrightarrow{MP}\right]$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\overrightarrow{MN}=\left(-1;-2;4\right),$$\overrightarrow{MP}=\left(-2;1;3\right)$.

Suy ra $\left[\overrightarrow{MN},\overrightarrow{MP}\right]=\left(-10;-5;-5\right)$$=-5\left(2;1;1\right)$.

Chọn vectơ pháp tuyến của mp(MNP) là $\overrightarrow{n}=\left(2;1;1\right)$.

Mp(MNP) đi qua $M\left(2;0;-1\right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(2;1;1\right)$ nên có phương trình là:

$2\left(x-2\right)+1\left(y-0\right)+1\left(z+1\right)=0$ $\iff 2x+y+z-3=0$

LG b

Đi qua hai điểm $A\left(1;1;-1\right);B\left(5;2;1\right)$ và song song với trục Oz ;

Phương pháp giải:

MP đi qua hai điểm A,B và song song Oz thì có VTPT cùng phương với $\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{k}\right]$

Lời giải chi tiết:

Mp(P) đi qua A, B và song song với trục Oz có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ vuông góc vói $\overrightarrow{AB}=\left(4;1;2\right)$ và vuông góc với $\overrightarrow{k}=\left(0;0;1\right)$ nên:

$\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{k}\right]$ $=\left(\left|\begin{array}{c}12\hfill \\ 01\hfill \end{array}\right|;\left|\begin{array}{c}24\hfill \\ 10\hfill \end{array}\right|;\left|\begin{array}{c}41\hfill \\ 00\hfill \end{array}\right|\right)$ $=\left(1;-4;0\right)$

(P) qua $A\left(1;1;-1\right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(1;-4;0\right)$ nên (P) có phương trình:

$1\left(x-1\right)-4\left(y-1\right)+0\left(z+1\right)=0$ $\iff x-4y+3=0$

Cách khác:

Vì mặt phẳng cần tìm song song với Oz nếu có phương trình dạng Ax + By + D = 0, với A² + B² ≠ 0

Vì mặt phẳng này đi qua A(1, 1, -1) và B(5, 2, 1) nên ta có: $\{\begin{array}{l}A+B+D=0\\ 5A+2B+D=0\end{array}$

⇒ 4A + B = 0, nếu A = 0 thì B = 0 (loại)

Vậy A ≠ 0, ta chọn A = 1 ⇒ B = -4, và D = 3

Vậy phương trình mặt phẳng là: x – 4y + 3 = 0

LG c

Đi qua điểm (3; 2; -1) và song song với mặt phẳng có phương trình x –5y + z = 0;

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$: $x-5y+z=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(1;-5;1\right)$.

$Mp\left(\beta \right)$ qua $A\left(3;2;-1\right)$ song song với $mp\left(\alpha \right)$ nên $\left(\beta \right)$ có cùng vectơ pháp tuyến .

Do đó $\left(\beta \right)$: $\left(x-3\right)-5\left(y-2\right)+\left(z+1\right)=0$ $\iff x-5y+z+8=0$

Cách khác:

Vì mặt phẳng cần tìm song song với mp: x – 5y + z = 0, nên nó có phương trình dạng: x – 5y + z + D = 0, mà mặt phẳng này lại đi qua điểm (3, 2, -1) nên ta có:

3 - 5.2 + (-1) + D = 0 ⇔ D = 8

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là : x - 5y + z + 8 = 0

LG d

Đi qua hai điểm A(0 ; 1 ; 1), B(- 1 ; 0 ; 2) và vuông góc với mặt phẳng x – y + z – 1 = 0 ;

Phương pháp giải:

MP đi qua hai điểm A,B và vuông góc $\left(\alpha \right)$ thì nhận $\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{n_{\left(\alpha \right)}}\right]$ làm VTPT.

Lời giải chi tiết:

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(-1;-1;1\right)$

$Mp\left(\alpha \right)$: $x-y+z+1=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{m}=\left(1;-1;1\right)$.
$Mp\left(\beta \right)$ đi qua A, B và vuông góc với $mp\left(\alpha \right)$ nên vectơ pháp tuyến của $\left(\beta \right)$ vuông góc với $\overrightarrow{AB}$ và vuông góc với $\overrightarrow{m}$ nên ta có thể chọn:

$\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{m}\right]=\left(0;2;2\right)$

Vậy (P): $2\left(y-1\right)+2\left(z-1\right)=0$ $\iff y+z-2=0$

LG e

Đi qua điểm M(a ; b ; c) (với $abc\ne 0$) và song song với một mặt phẳng toạ độ ;

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng đi qua $M\left(a,b,c\right)$ song song với mp(Oxy) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{k}=\left(0;0;1\right)$ nên có phương trình: $1\left(z-c\right)=0\iff z-c=0$

Tương tự mặt phẳng đi qua $M\left(a,b,c\right)$ song song với mp(Oyz) có phương trình x – a = 0; mặt phẳng đi qua $M\left(a,b,c\right)$ song song với mp(Oxz) có phương trình y – b = 0.

LG g

Đi qua điểm G(1 ; 2 ; 3) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC ;

Lời giải chi tiết:

Giả sử $A\left(a;0;0\right),B\left(0,b,0\right),C\left(0,0,c\right)$.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên

$\frac{a+0+0}{3}=1;\frac{0+b+0}{3}=2;\frac{0+0+c}{3}=3$ $\Rightarrow a=3;b=6;c=9$

Vậy mp(ABC): $\frac{x}{3}+\frac{y}{6}+\frac{z}{9}=1$.

LG h

Đi qua điểm H(2 ; 1 ; 1) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC.

Lời giải chi tiết:

Tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc nên H là trực tâm $\mathrm{\Delta }ABC$ khi và chỉ khi $OH\mathrm{\perp }mp\left(ABC\right)$.

Vậy mp(ABC) đi qua H va có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{OH}=\left(2;1;1\right)$ nên có phương trình :

$2\left(x-2\right)+\left(y-1\right)+\left(z-1\right)=0$ $\iff 2x+y+z-6=0$

Cách khác:

Giả sử 3 giao điểm A, B, C của mặt phẳng với 3 trục tọa độ là: A(a, 0, 0); B(0, b, 0); C(0, 0, c).

Ta có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow{AB}=\left(-a;b;0\right),\overrightarrow{CH}=\left(2;1;1-c\right)\\ \overrightarrow{BC}=\left(0;-b;c\right),\overrightarrow{AH}=\left(2-a;1;1\right)\end{array}$

Vì H(2, 1, 1) là trực tâm ΔABC nên $\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CH}=0\\ \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AH}=0\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{l}-2a+b=0\\ b-c=0\end{array}$ $\Rightarrow b=c=2a$

Khi đó, phương trình mặt phẳng (ABC) viết theo đoạn chắn là:

$\frac{x}{a}+\frac{y}{2a}+\frac{z}{2a}=1$ $\iff 2x+y+z=2a$

Mặt khác, mặt phẳng này đi qua H(2, 1, 1) nên ta có:

2.2 + 1 + 1 = 2a <=> a = 3

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: 2x+y+z-6=0

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]