Bài 35 SGK trang 104 Hình học 12 Nâng cao

Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng sau:

LG a

$d:\{\begin{array}{c}x=1+t\hfill \\ y=-1-t\hfill \\ z=1\hfill \end{array}$ và

$d^{\prime }:\{\begin{array}{c}x=2-3t^{\prime }\hfill \\ y=-2+3t^{\prime }\hfill \\ z=3\hfill \end{array}$

Phương pháp giải:

- Chứng minh d//d'

- Tính d(d,d')=d(M,d').

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng d đi qua $M_1\left(1;-1;1\right)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=\left(1;-1;0\right)$.
Đường thẳng d’ đi qua điểm $M_2\left(2;-2;3\right)$, có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}\left(-1;1;0\right)$. Vì $\overrightarrow{u_1}$ và $\overrightarrow{u_2}$ cùng phương nhưng $\overrightarrow{u_1}$; $\overrightarrow{u_2}$ không cùng phương với $\overrightarrow{M_1{M}_2}=\left(1;-1;2\right)$ nên hai đường thẳng đó song song.

Vậy khoảng cách giữa d và d’ là khoảng cách từ $M_1$(1, -1, 1) ∈ d đến đường thẳng d’ và bằng : $d=\frac{\left|\left[\overrightarrow{M_1{M}_2},\overrightarrow{u_2}\right]\right|}{\left|\overrightarrow{u_2}\right|}$

Ta có: $\overrightarrow{M_1{M}_2}=\left(1;-1;2\right)$  suy ra $\left[\overrightarrow{M_1{M}_2},\overrightarrow{u_2}\right]=\left(-6;-6;0\right)$

Vậy khoảng cách cần tìm là:

$d=\frac{\left|\left[\overrightarrow{M_1{M}_2},\overrightarrow{u_2}\right]\right|}{\left|\overrightarrow{u_2}\right|}$$=\frac{\sqrt{36+36+0}}{\sqrt{6+9}}=2$

LG b

$d:\frac{x}{-1}=\frac{y-4}{1}=\frac{z+1}{-2}$ và

$d^{\prime }:\{\begin{array}{c}x=-t^{\prime }\hfill \\ y=2+3t^{\prime }\hfill \\ z=-4+3t^{\prime }\hfill \end{array}$

Phương pháp giải:

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: $d=\frac{\left|\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{u^{\prime }}\right].\overrightarrow{M{M}^{\prime }}\right|}{\left|\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{u^{\prime }}\right]\right|}$

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng d đi qua $M\left(0;4;-1\right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(-1;1;-2\right)$.
Đường thẳng d’ đi qua $M^{\prime }\left(0;2;-4\right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u^{\prime }}=\left(-1;3;3\right)$.
Ta có $\overrightarrow{M{M}^{\prime }}=\left(0;-2;-3\right);$ $\left[\overrightarrow{u};\overrightarrow{u^{\prime }}\right]=\left(9;5;-2\right)$.
$\Rightarrow \left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{u^{\prime }}\right].\overrightarrow{M{M}^{\prime }}=-4\ne 0$

$\Rightarrow d$ và d’ chéo nhau.
Khoảng cách giữa $d_1$ và $d_2$ là:

$d=\frac{\left|\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{u^{\prime }}\right].\overrightarrow{M{M}^{\prime }}\right|}{\left|\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{u^{\prime }}\right]\right|}=\frac{4}{\sqrt{9^2+5^2+2^2}}=\frac{2\sqrt{110}}{55}$

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]