Bài 30 trang 103 SGK Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng $d_1$ và cắt cả hai đường thẳng $d_2$ và $d_3$, biết phương trình của $d_1,d_2$ và $d_3$ là:

$d_1:\{\begin{array}{c}x=1\hfill \\ y=-2+4t\hfill \\ z=1-t\hfill \end{array}$
$d_2:\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{4}=\frac{z-2}{3}$
$d_3:\{\begin{array}{c}x=-4+5t^{\prime }\hfill \\ y=-7+9t^{\prime }\hfill \\ z=t^{\prime }\hfill \end{array}$

Lời giải chi tiết

Đường thẳng $d_1$ có vectơ chỉ phương ${\overrightarrow{u}}_1=\left(0;4;-1\right)$, $d_2$ có phương trình tham số là

$\{\begin{array}{c}x=1+t\hfill \\ y=-2+4t\hfill \\ z=2+3t\hfill \end{array}$

Lấy điểm $M_2\left(1+t;-2+4t;2+3t\right)$ trên $d_2$ và $M_3\left(-4+5t^{\prime };-7+9t^{\prime };t^{\prime }\right)$ trên $d_3$. Ta tìm t và t’ để $\overrightarrow{M_2{M}_3}$ cùng phương với $\overrightarrow{u_1}$.
Ta có $\overrightarrow{M_2{M}_3}=\left(-5+5t^{\prime }-t;-5+9t^{\prime }-4t;-2+t^{\prime }-3t\right)$, $\overrightarrow{M_2{M}_3}$ cùng phương với $\overrightarrow{u_1}$ khi và chỉ khi

$\{\begin{array}{c}-5+5t^{\prime }-t=0\hfill \\ \frac{-5+9t^{\prime }-4t}{4}=\frac{-2+t^{\prime }-3t}{-1}\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}t=0\hfill \\ t^{\prime }=1\hfill \end{array}$

Khi đó $M_2\left(1;-2;2\right)$ và $\overrightarrow{M_2{M}_3}=\left(0;4;-1\right)$.
Vậy $\mathrm{\Delta }$ qua $M_2,M_3$ có phương trình:

$\{\begin{array}{c}x=1\hfill \\ y=-2+4t\hfill \\ z=2-t\hfill \end{array}$.

Rõ ràng $M_2\notin d_1$.

Vậy $\mathrm{\Delta }$ chính là đường thẳng cần tìm.

Cách khác:

Gọi Δ là đường cần tìm, thì Δ=(P)∩(Q);

Trong đó (P) là mặt phẳng chứa d₂ và (P) // d₁

(Q) là mặt phẳng chứa d₃ và (Q) // d₁

d₁,d₂,d₃ lần lượt có các vectơ chỉ phương là: $\overrightarrow{u_1}=\left(0;4;-1\right),\overrightarrow{u_2}=\left(1;4;3\right),$ $\overrightarrow{u_3}=\left(5;9;1\right)$

Ta viết được phương trình mp(P) là: 16x-y-4z-10=0

Phương trình mp(Q) là: 13x-5y-20z+17=0

Vậy phương trình của Δ là: $\{\begin{array}{l}16x-y-4z-10=0\\ 13x-5y-20z+17=0\end{array}$

hay Δ có phương trình tham số là: $\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-2+4t\\ z=2-t\end{array}$

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]