Bài 24 trang 102 SGK Hình học 12 Nâng cao

Viết phương trình tham số và chính tắc (nếu có) của các đường thẳng sau đây:

LG a

Các trục tọa độ Ox, Oy, Oz.

Phương pháp giải:

Đường thẳng đi qua điểm $M(x_0;y_0;z_0)$ và nhận véc tơ $\overrightarrow{n}=\left(a;b;c\right)$ làm VTCP có phương trình 

$\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\\ z=z_0+ct\end{array},t\in R$

Lời giải chi tiết:

Trục Ox đi qua O(0; 0; 0) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{i}=\left(1;0;0\right)$ nên có phương trình tham số là 

$\{\begin{array}{c}x=t\hfill \\ y=0\hfill \\ z=0\hfill \end{array}$

Tương tự, trục Oy có phương trình tham số là

$\{\begin{array}{c}x=0\hfill \\ y=t\hfill \\ z=0\hfill \end{array}$

Trục Oz có phương trình tham số là

$\{\begin{array}{c}x=0\hfill \\ y=0\hfill \\ z=t\hfill \end{array}$

Các phương trình đó không có phương trình chính tắc.

LG b

Các đường thẳng đi qua điểm $M_0\left(x_0;y_0;z_0\right)$ (với $x_0.y_0.z_0\ne 0$) và song song với mỗi trục tọa độ;

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng đi qua $M_0\left(x_0;y_0;z_0\right)$ song song với trục Ox có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{i}=\left(1;0;0\right)$ nên có phương trình tham số là 

$\{\begin{array}{c}x=x_0+t\hfill \\ y=y_0\hfill \\ z=z_0\hfill \end{array}$

Tương tự đường thẳng đi qua $M_0$ với trục Oy có phương trình tham số là $\{\begin{array}{c}x=x_0\hfill \\ y=y_0+t\hfill \\ z=z_0\hfill \end{array}$

Đường thẳng đi qua $M_0$ với trục Oz có phương trình tham số là

$\{\begin{array}{c}x=x_0\hfill \\ y=y_0\hfill \\ z=z_0+t\hfill \end{array}$

Các đường thẳng trên không có phương trình chính tắc.

LG c

Đường thẳng đi qua $M\left(2;0;-1\right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(-1;3;5\right)$;

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng đi qua $M\left(2;0;-1\right)$ có vectơ chỉ phương có phương trình tham số: $\overrightarrow{u}=\left(-1;3;5\right)$ Tương tự đường thẳng đi qua $M_0$ với trục Oy có phương trình tham số là

$\{\begin{array}{c}x=2-t\hfill \\ y=3t\hfill \\ z=-1+5t\hfill \end{array}$ và có phương trình chính tắc $\frac{x-2}{-1}=\frac{y}{3}=\frac{z+1}{5}$.

LG d

Đường thẳng đi qua $N\left(-2;1;2\right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(0;0;-3\right)$;

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng đi qua $N\left(-2;1;2\right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(0;0;-3\right)$ có phương trình tham số

$\{\begin{array}{c}x=-2\hfill \\ y=1\hfill \\ z=2-3t\hfill \end{array}$

Không có phương trình chính tắc.

LG e

Đường thẳng đi qua $N\left(3;2;1\right)$ và vuông góc với mặt phẳng $2x-5y+4=0$;

Lời giải chi tiết:

Vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ của đường thẳng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $2x-5y+4=0$ nên $\overrightarrow{u}=\left(2;-5;0\right)$.

Vậy đường thẳng có phương trình tham số

$\{\begin{array}{c}x=3+2t\hfill \\ y=2-5t\hfill \\ z=1\hfill \end{array}$

Không có phương trình chính tắc.

LG g

Đường thẳng đi qua $P\left(2;3;-1\right)$ và $Q\left(1;2;4\right)$.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng đi qua $P\left(2;3;-1\right)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{PQ}=\left(-1;-1;5\right)$ nên có phương trình tham số là

$\{\begin{array}{c}x=2-t\hfill \\ y=3-t\hfill \\ z=-1+5t\hfill \end{array}$

và có phương trình chính tắc là $\frac{x-2}{-1}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z+1}{5}$

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]