Câu 2 Đề III trang 133 SGK Hình học 12 Nâng cao

Câu 2. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; -3; -1) và B(-2; 1; 3).

LG a

Chứng tỏ rằng hai điểm A và B cách đều trục Ox.

Lời giải chi tiết:

Ta có Ox đi qua O(0, 0, 0) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{i}=\left(1,0,0\right).$

$\Rightarrow d\left(A;Ox\right)=\frac{\left|\left[\overrightarrow{OA},\overrightarrow{i}\right]\right|}{\left|\overrightarrow{i}\right|}=\frac{\sqrt{0^2+{\left(-1\right)}^2+{\left(3\right)}^2}}{\sqrt{1^2+0^2+0^2}}=\sqrt{10}.$

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow d\left(B;Ox\right)=\frac{\left|\left[\overrightarrow{OB},\overrightarrow{i}\right]\right|}{\left|\overrightarrow{i}\right|}\\ & =\frac{\sqrt{0^2+3^2+{\left(-1\right)}^2}}{\sqrt{1^2+0^2+0^2}}=\sqrt{10}.\\ & \Rightarrow d\left(A;Ox\right)=d\left(B;Ox\right).\end{array}$

Vậy A và B cách đều trục Ox.

LG b

Tìm điểm C nằm trên trục Oz sao cho tam giác ABC vuông tại C.

Lời giải chi tiết:

Điểm $C\in Oz$ nên $C\left(0,0,c\right)$. 
Ta có: $\overrightarrow{AC}=\left(-1,3,c+1\right),\overrightarrow{BC}=\left(2,-1,c-3\right).$
Tam giác ABC vuông tại C nên

$\begin{array}{rl}& \overrightarrow{AC}\mathrm{\perp }\overrightarrow{BC}\Rightarrow \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}=0\\ & \iff -2-3+\left(c+1\right)\left(c-3\right)=0\\ & \iff -5+c^2-2c-3=0\\ & \iff c^2-2c-8=0\\ & \iff [\begin{array}{c}c=4\\ c=-2\end{array}.\end{array}$

Vậy có 2 điểm C thỏa mãn đề bài là $C\left(0,0,4\right)$ hoặc $C\left(0,0,-2\right).$

LG c

Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng AB trên mp(Oyz).

Lời giải chi tiết:

Hình chiếu của A trên mp(Oyz) là $A^{\prime }\left(0,-3,-1\right)$ và hình chiếu của B trên mp(Oyz) là $B^{\prime }\left(0,1,3\right)$.

$\Rightarrow \overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\left(0,4,4\right)=4\left(0,1,1\right).$

Suy ra hình chiếu d’ của AB trên mp(Oyz) là đường thẳng đi qua A’ và nhận $\overrightarrow{u}=\left(0,1,1\right)$ và 1 vectơ chỉ phương.
Phương trình tham số của d’ là: 

$\{\begin{array}{c}x=0\hfill \\ y=-3+t\hfill \\ z=-1+t\hfill \end{array}.$

LG d

Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm O, A, B và có tâm nằm trên mp(Oxy).

Lời giải chi tiết:

Gọi I là tâm của mặt cầu. Vì $I\in \left(Oxy\right)\Rightarrow I\left(a,b,0\right).$
Khi đó phương trình mặt cầu có dạng $x^2+y^2+z^2-2ax-2by+d=0.$
Vì O, A, B thuộc mặt cầu nên tọa độ của O, A, B thỏa mãn phương tình mặt cầu.
Từ đó ta có hệ phương trình:

$\{\begin{array}{c}d=0\hfill \\ 1+9+1-2a+6b+d=0\hfill \\ 4+1+9+4a-2b+d=0\hfill \end{array}$$\iff \{\begin{array}{c}d=0\hfill \\ -2a+6b=-11\hfill \\ 4a-2b=-14\hfill \end{array}$$\iff \{\begin{array}{c}a=\frac{-53}{10}\hfill \\ b=-\frac{18}{5}\hfill \\ d=0\hfill \end{array}$

Vậy phương trình mặt cầu thỏa mãn đề bài là: 

$x^2+y^2+z^2+\frac{53}{5}x+\frac{36}{5}y=0$

$\iff 5x^2+5y^2+5z^2+53x+36y=0.$

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]