Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 1 - Chương III - Giải tích 12

Đề bài

Câu 1. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x)  nếu:

A. F’(x) = f’’(x)                  

B. F’(x) = f’(x)

C. F’(x) = f(x)     

D. f’(x) = F(x).

Câu 2. Chọn mệnh đề đúng:

A. $\int a^{x}dx={\displaystyle \frac{a^x}{\ln a}}+C(0<a\ne 1)$.     

B. $\int a^{x}dx=a^x+C(0<a\ne 1)$.

C. $\int a^{x}dx=a^x\ln a+C(0<a\ne 1)$.  

D. $\int a^{x}dx=a^x\ln a(0<a\ne 1)$.

Câu 3. Cho $C\in R$. Tính $I=\int \left(x^2+3\right)x^{2}dx$:

A. $I={\displaystyle \frac{x^5}{5}}+x^3+C$         

B. $I={\displaystyle \frac{x^5}{5}}+x^3$

C.  $I=\left({\displaystyle \frac{x^3}{3}}+3x\right){\displaystyle \frac{x^3}{3}}+C$     

D. $I=x^4+3x^2+C$.

Câu 4. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số $f(x)={\displaystyle \frac{x^3-1}{x^2}}$ biết F(1)=0.

A. ${\displaystyle \frac{x^2}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{x}}$.                        

B. ${\displaystyle \frac{x^2}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}$.

C. ${\displaystyle \frac{x^2}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{3}{2}}$.                   

D. ${\displaystyle \frac{x^2}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{3}{2}}$

Câu 5. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong $y=x^2+1$, đường thẳng $y=3-x$.

A. ${\displaystyle \frac{8}{3}}$                            B. ${\displaystyle \frac{7}{3}}$      

C. ${\displaystyle \frac{9}{2}}$                            D. ${\displaystyle \frac{10}{3}}$

Câu 6. Tính $F(x)=\int x.e^{{\displaystyle \frac{x}{3}}}dx$. Chọn kết quả đúng .

A. $F(x)=3(x-3)e^{{\displaystyle \frac{x}{3}}}+C$.   

B. $F(x)=(x+3)e^{{\displaystyle \frac{x}{3}}}+C$.

C. $F(x)={\displaystyle \frac{x-3}{3}}{e}^{{\displaystyle \frac{x}{3}}}+C$.    

D. $F(x)={\displaystyle \frac{x+3}{3}}{e}^{{\displaystyle \frac{x}{3}}}+C$.

Câu 7. Tính tích phân  $\underset{0}{\overset{3}{\int }}x(x-1)dx$ có giá trị bằng với tích phân nào trong các tích phân dưới đây ?

A.$\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\cos (3x+\pi )dx$.    

B. $3\underset{0}{\overset{3x}{\int }}\sin xdx$

C. $\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(x^2+x-3\right)dx$.

D. $\underset{0}{\overset{\ln \sqrt{10}}{\int }}{e}^{2x}dx$.

Câu 8. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^3-x$, trục hoành, các đường thẳng $x=-2,x=1$ bằng :

A. $\left|\underset{-2}{\overset{1}{\int }}\left(x^3-x\right)dx\right|$.    

B. $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}\left(x^3-x\right)dx$.

C. $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}|x^3-x|dx$.  

D. $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}|x^3-x|dx$.

Câu 9. Tìm họ nguyên hàm F(x) của hàm số $f(x)=3\sin x+{\displaystyle \frac{2}{x}}$.

A. $F(x)=-3\cos x+2\ln |x|+C$.

 B. $F(x)=3\cos x+2\ln |x|+C$.

C. $F(x)=-3\cos x-2\ln |x|+C$.  

D. $F(x)=3\cos x-2\ln |x|+C$.

Câu 10. Cho hình (H) gới hạn bởi hàm số y = f(x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox là:

A. $V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)|dx$.    

B. $V=\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)|dx$.

C. $V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^2(x)dx$.  

D. $V={\pi }^2\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^2(x)dx$.

Lời giải chi tiết

Lời giải chi tiết 

Câu 1.

Hàm số $F\left(x\right)$được gọi là nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)$nếu: $F^{\prime }\left(x\right)=f\left(x\right)$

Chọn đáp án C.

Câu 2.

Mệnh đề đúng: $\int a^{x}dx={\displaystyle \frac{a^x}{\ln a}}+C(0<a\ne 1)$

Chọn đáp án A.

Câu 3.

Ta có: $I=\int \left(x^2+3\right)x^{2}dx$$=\int \left(x^4+3x^2\right)dx={\displaystyle \frac{x^5}{5}}+x^3+C$

Chọn đáp án A.

Câu 4.

Ta có: $f(x)={\displaystyle \frac{x^3-1}{x^2}}$

$\Rightarrow \int \left(x-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}\right)dx={\displaystyle \frac{x^2}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{x}}+C$

Theo giả thiết: $F\left(1\right)=0\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{2}}+1+C=0$

$\iff C=-{\displaystyle \frac{3}{2}}.$

Khi đó $F\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{3}{2}}$

Chọn đáp án D.

Câu 5.

Phương trình hoành độ giao điểm là: $x^2+1=3-x$

$\iff x^2+x-2=0$

$\iff [\begin{array}{l}x=-2\\ x=1\end{array}$

Khi đó diện tích hình phẳng được xác định bởi công thức:

$S=\underset{-2}{\overset{1}{\int }}\left|x^2+x-2\right|dx$$=\left|{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}-2x\right||\begin{array}{l}{}^1\\ {}_{-2}\end{array}$$=\left|-{\displaystyle \frac{7}{6}}-{\displaystyle \frac{10}{3}}\right|={\displaystyle \frac{9}{2}}.$

Chọn đáp án C.

Câu 6.

Ta có: $F(x)=\int x.e^{{\displaystyle \frac{x}{3}}}dx=3\int x{e}^{{\displaystyle \frac{x}{3}}}d\left({\displaystyle \frac{x}{3}}\right)$

Đặt: $\{\begin{array}{l}u=x\\ dv=e^{{\displaystyle \frac{x}{3}}}d\left({\displaystyle \frac{x}{3}}\right)\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}du=dx\\ v=e^{{\displaystyle \frac{x}{3}}}\end{array}$

Khi đó ta có:

$F(x)=\int x.e^{{\displaystyle \frac{x}{3}}}dx$$=3\left(x{e}^{{\displaystyle \frac{x}{3}}}\right)-3\int e^{{\displaystyle \frac{x}{3}}}dx$$=3\left(x{e}^{{\displaystyle \frac{x}{3}}}\right)-9\int e^{{\displaystyle \frac{x}{3}}}d\left({\displaystyle \frac{x}{3}}\right)$$=3\left(x{e}^{{\displaystyle \frac{x}{3}}}\right)-9e^{{\displaystyle \frac{x}{3}}}+C$

Chọn đáp án A.

Câu 7.

Ta có: $\underset{0}{\overset{3}{\int }}x(x-1)dx=\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(x^2-x\right)dx$$=\left({\displaystyle \frac{x^3}{3}}-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}\right)|\begin{array}{l}{}^3\\ {}_0\end{array}={\displaystyle \frac{9}{2}}$

+) $\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\cos (3x+\pi )dx$$={\displaystyle \frac{1}{3}}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\cos \left(3x+\pi \right)d\left(3x+\pi \right)$$={\displaystyle \frac{1}{3}}\sin \left(3x+\pi \right)|\begin{array}{l}{}^{\pi }\\ {}_0\end{array}=0$

+) $3\underset{0}{\overset{3x}{\int }}\sin xdx=3\left(-\cos x\right)|\begin{array}{l}{}^{3x}\\ {}_x\end{array}$

+) $\underset{0}{\overset{\ln \sqrt{10}}{\int }}{e}^{2x}dx={\displaystyle \frac{1}{2}}\underset{0}{\overset{\ln \sqrt{10}}{\int }}{e}^{2x}d\left(2x\right)$$={\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{2x}|\begin{array}{l}{}^{\ln \sqrt{10}}\\ {}_0\end{array}=5-{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{9}{2}}$

Chọn đáp án D.

Câu 8.

Diện tích hình phẳng được xác định bằng công thức sau: $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}|x^3-x|dx$

Chọn đáp án D.

Câu 9.

Ta có: $f(x)=3\sin x+{\displaystyle \frac{2}{x}}$

$\Rightarrow \int \left(3\sin x+{\displaystyle \frac{2}{x}}\right)dx$$=-3\cos x+2\ln \left|x\right|+C$

Chọn đáp án A.

Câu 10.

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $\left(H\right)$ quanh trục Ox là: $V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^2(x)dx$

Chọn đáp án C

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]