Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Đề số 3 – Chương III - Giải tích 12

Đề bài

Câu 1. Tìm $I=\int x^2\cos xdx$.

A. $x^2.\sin x+x.\cos x-2\sin x+C$.  

B. $x^2.\sin x+2x.\cos x-2\sin x+C$.

C. $x.\sin x+2x.\cos x+C$.      

D. $2x.\cos x+\sin +C$.

Câu 2. Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay quanh trục Ox của hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và $y=\sqrt{x\sin x}(0\le x\le \pi )$ là:

A. $-{\displaystyle \frac{{\pi }^2}{4}}$                      B. ${\pi }^2$

C. ${\displaystyle \frac{{\pi }^2}{2}}$                         D. $-{\displaystyle \frac{{\pi }^2}{2}}$.

Câu 3. Trong các hàm số sau hàm số nào không phải là một nguyên hàm của $f(x)=\cos x.\sin x$ ?

A. $-{\displaystyle \frac{1}{4}}\cos 2x+C$    

B. ${\displaystyle \frac{1}{2}}{\sin }^{2}x+C$.

C. $-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\cos }^{2}x+C$.              

D. ${\displaystyle \frac{1}{2}}\cos 2x+C$.

Câu 4. Cho $\underset{2}{\overset{5}{\int }}f(x)dx=10$. Khi đó, $\underset{5}{\overset{2}{\int }}[2-4f(x)]dx$ có giá trị là:

A. 32                               B. 34   

C. 46                               D. 40.

Câu 5. Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)={\displaystyle \frac{{\left(x+2\right)}^2}{x^4}}$ là:

A. $-{\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{2}{x^2}}-{\displaystyle \frac{4}{3x^2}}+C$.

B. ${\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{2}{x^2}}-{\displaystyle \frac{4}{3x^2}}+C$.

C. $-{\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}-{\displaystyle \frac{1}{x^3}}+C$.    

D. $-{\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{2}{x^2}}-{\displaystyle \frac{4}{3x^2}}+C$.

Câu 6. Hình phẳng S giới hạn bởi các đường y = x, y = 0, y= 4 – x . Hình này quay quanh trục Oy tạo nên vật thể có thể tích là V_y. Lựa chọc phương án đúng.

A. $V_y=12\pi$.                      B. $V_y=8\pi$

C. $V_y=18\pi$.                      D. $V_y=16\pi$.

Câu 7. Tính nguyên hàm $\int x\sqrt{a-x}dx$ ta được :

A. ${\left(a-x\right)}^{{\displaystyle \frac{5}{2}}}+ax+C$. 

B. $-{\displaystyle \frac{2}{5}}{\left(a-x\right)}^{{\displaystyle \frac{5}{2}}}+ax+C$.

C.${\left(a-x\right)}^{{\displaystyle \frac{5}{2}}}-a+C$.      

D. ${\displaystyle \frac{2}{5}}{\left(a-x\right)}^{{\displaystyle \frac{5}{2}}}-{\displaystyle \frac{2}{3}}a{\left(a-x\right)}^{{\displaystyle \frac{3}{2}}}+C$.

Câu 8. Cho miền (D) giới hạn bởi các đường sau: $y=\sqrt{x},y=2-x,y=0$. Diện tích của miền (D) có giá tri là:

A. ${\displaystyle \frac{6}{7}}$                            B. ${\displaystyle \frac{7}{6}}$

C. 1                              D. 2.

Câu 9. Hàm số $F(x)={\displaystyle \frac{1}{4}}{\ln }^{4}x+C$ là nguyên hàm của hàm số nào :
A. ${\displaystyle \frac{1}{x{\ln }^{3}x}}$.                   B. $x{\ln }^{3}x$.

C. ${\displaystyle \frac{x^2}{{\ln }^{3}x}}$.                      D. ${\displaystyle \frac{{\ln }^{3}x}{x}}$.

Câu 10. Tích phân $\underset{0}{\overset{e}{\int }}\left(3x^2-7x+{\displaystyle \frac{1}{x+1}}\right)dx$ có giá trị bằng :

A. $e^3-{\displaystyle \frac{7}{2}}{e}^2+\ln \left(1+e\right)$.  

B. $e^2-7e+{\displaystyle \frac{1}{e+1}}$.

C. $e^3-{\displaystyle \frac{7}{2}}{e}^2-{\displaystyle \frac{1}{{\left(e+1\right)}^2}}$. 

D. $e^3-7e^2-\ln \left(1+e\right)$.

Câu 11. Tích phân $\underset{0}{\overset{4}{\int }}\left(3x-e^{{\displaystyle \frac{x}{2}}}\right)dx=a+b{e}^2$ khi đó a – 10b bằng:

A. 6                            B 46  

C. 26                           D. 12.

Câu 12. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a ;b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = f(x), trục hoành, các đường thẳng x = a, x = b là :

A. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f(a)\right|dx$.   

B. $-\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$.

C. $\underset{b}{\overset{a}{\int }}f(x)dx$.            

D. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$.

Câu 13. Cho $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}f(x)dx=1,\underset{-2}{\overset{1}{\int }}g(x)dx=-2$. Tính $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}\left(1-f(x)+3g(x)\right)dx$.

A. 24                               B. – 7  

C. – 4                              D. 8.

Câu 14. Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ; b]. Hãy chọn mệnh đề sai.

A. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{b}{\overset{a}{\int }}f(x)dx$.

B. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}k.dx=k\left(b-a\right),\mathrm{\forall }k\in R$.

C. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=-\underset{b}{\overset{a}{\int }}f(x)dx$

D. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{a}{\overset{c}{\int }}f(x)dx+\underset{c}{\overset{b}{\int }}f(x)dx,c\in [a;b]$

Câu 15. Xét tích phân $\underset{0}{\overset{{\displaystyle \frac{x}{3}}}{\int }}{\displaystyle \frac{\sin 2x}{1+\cos x}}dx$. Thực hiện phép đổi biến t = cosx, ta có thể đưa I về dạng nào sau đây ?

A. $I=\underset{{\displaystyle \frac{1}{2}}}{\overset{1}{\int }}{\displaystyle \frac{2t}{1+1}}dt$.  

B. $I=\underset{{\displaystyle \frac{0}{2}}}{\overset{{\displaystyle \frac{x}{4}}}{\int }}{\displaystyle \frac{2t}{1+1}}dt$.

C. $I=-\underset{{\displaystyle \frac{1}{2}}}{\overset{1}{\int }}{\displaystyle \frac{2t}{1+1}}dt$.    

D. $I=-\underset{{\displaystyle \frac{0}{2}}}{\overset{{\displaystyle \frac{x}{4}}}{\int }}{\displaystyle \frac{2t}{1+1}}dt$.

Câu 16. Tìm hai số thực A, B sao cho $f(x)=A\sin \pi x+B$, biết rằng f’(1) = 2 và $\underset{0}{\overset{2}{\int }}f(x)dx=4$.

A. $\{\begin{array}{l}A=-2\\ B=-{\displaystyle \frac{2}{\pi }}\end{array}$.  

B. $\{\begin{array}{l}A=2\\ B=-{\displaystyle \frac{2}{\pi }}\end{array}$.

C. $\{\begin{array}{l}A=-2\\ B={\displaystyle \frac{2}{\pi }}\end{array}$.   

D. $\{\begin{array}{l}B=2\\ A=-{\displaystyle \frac{2}{\pi }}\end{array}$

Câu 17. Tính tích phân $I=\underset{1}{\overset{e}{\int }}x\ln xdx$.

A. $I={\displaystyle \frac{1}{2}}$    

B. $I={\displaystyle \frac{3e^2+1}{4}}$.

C. $I={\displaystyle \frac{e^2+1}{4}}$.    

D. $I={\displaystyle \frac{e^2-1}{4}}$.

Câu 18. Tìm nguyên hàm của $f(x)=4\cos x+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$trên $(0;+\mathrm{\infty })$.

A. $4\cos x+\ln x+C$.     

B. $4\cos x+{\displaystyle \frac{1}{x}}+C$.

C. $4\sin x-{\displaystyle \frac{1}{x}}+C$.         

D. $4\sin x+{\displaystyle \frac{1}{x}}+C$.

Câu 19. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x+{\displaystyle \frac{1}{x}}$, trục hoành, đường thẳng x= - 1 và đường thẳng x = - 2  là:

A. $2\ln 2+3$.                 

B. ${\displaystyle \frac{\ln 2}{2}}+{\displaystyle \frac{3}{4}}$.

C. $\ln 2+{\displaystyle \frac{3}{2}}$.                     

D. $\ln 2+1$.

Câu 20. Cho tích phân $I=\underset{0}{\overset{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}{\int }}\sin x\sqrt{8+\cos x}dx$. Đặt u = 8 + cosx thì kết quả nào sau đây đúng ?

A. $I=2\underset{8}{\overset{9}{\int }}\sqrt{u}du$. 

B. $I={\displaystyle \frac{1}{2}}\underset{8}{\overset{9}{\int }}\sqrt{u}du$.

C. $I=\underset{8}{\overset{9}{\int }}\sqrt{u}du$.               

D. $I=\underset{9}{\overset{8}{\int }}\sqrt{u}du$

Câu 21. Biết F(x) là nguyên hàm của $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x-1}},F(2)=1$. Khi đó F(3) bằng :

A. $\ln {\displaystyle \frac{3}{2}}$                         B. ${\displaystyle \frac{1}{2}}$                           

C. ln 2                          D. ln2 + 1.

Câu 22. Cho hình (H) giới hạn bởi các đường $y=\sin x,y=0,x=0,x=\pi$. Thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi (H) quay quanh trục Ox bằng :

A. $\pi \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{\sin }^{2}xdx$.  

B. ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{\sin }^{2}xdx$.

C. ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{\sin }^{4}xdx$.   

D. $\pi \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sin xdx$.

Câu 23. Tính tích phân $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{4-x^2}}}dx$ bằng cách đặt x = 2sint. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. $I=2\underset{0}{\overset{1}{\int }}dt$.     

B. $I=2\underset{0}{\overset{{\displaystyle \frac{\pi }{4}}}{\int }}dt$.

C. $I=\underset{0}{\overset{{\displaystyle \frac{\pi }{3}}}{\int }}dt$.          

D. $I=2\underset{0}{\overset{{\displaystyle \frac{\pi }{6}}}{\int }}dt$.

Câu 24. Tích phân $I=\underset{1}{\overset{e}{\int }}{\displaystyle \frac{\sqrt{8\ln x+1}}{x}}dx$ bằng:

A. – 2   

B. ${\displaystyle \frac{13}{6}}$                             

C. $\ln 2-{\displaystyle \frac{3}{4}}$

D. $\ln 3-{\displaystyle \frac{3}{5}}$.

Câu 25. Tìm họ các nguyên hàm của hàm số $f(x)={\displaystyle \frac{1}{6x-2}}$.

A. $\int {\displaystyle \frac{dx}{6x-2}}=6\ln |6x-2|+C$.

B. $\int {\displaystyle \frac{dx}{6x-2}}={\displaystyle \frac{1}{6}}\ln |6x-2|+C$.

C. $\int {\displaystyle \frac{dx}{6x-2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\ln |6x-2|+C$.

D. $\int {\displaystyle \frac{dx}{6x-2}}=\ln |6x-2|+C$.

Lời giải chi tiết

 Lời giải chi tiết 

Câu 1.

Ta có: $I=\int x^2\cos xdx=\int x^{2}d\left(\sin x\right)$

Đặt $\{\begin{array}{l}u=x^2\\ dv=d\left(\sin x\right)\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}du=2xdx\\ v=\sin x\end{array}$

Khi đó ta có $I=\int x^{2}d\left(\sin x\right)=\left(x^2\sin x\right)-2\int x\sin xdx$

$=\left(x^2\sin x\right)+2\left(x\cos x\right)-2\int \cos xdx$

$=\left(x^2\sin x\right)+2\left(x\cos x\right)-\mathrm{s}inx+C$.

Chọn đáp án B.

Câu 2.

Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra được xác định bằng công thức sau:

$V=\pi \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\left(x\sin x\right)dx=-\pi \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}xd\left(\cos x\right)$

Đặt $\{\begin{array}{l}u=x\\ dv=d\left(\cos x\right)\end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{array}{l}du=dx\\ v=\cos x\end{array}$

Khi đó

$V=-\pi \left(x\cos x\right)|{}_0^{\pi }+\pi \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\cos xdx$$=-\pi \left(x\cos x\right)|{}_0^{\pi }+\pi .\left(\sin x\right)|{}_0^{\pi }$$=-\pi \left(-\pi \right)+0={\pi }^2$

Chọn đáp án B.

Câu 3.

Ta có: $\int \cos x.\sin xdx=\int \sin xd\left(\sin x\right)$$={\displaystyle \frac{{\sin }^{2}x}{2}}+C={\displaystyle \frac{1-\cos 2x}{4}}+C$

Chọn đáp án D.

Câu 4.

Ta có: $\underset{5}{\overset{2}{\int }}\left[2-4f(x)\right]dx$

$=-\underset{2}{\overset{5}{\int }}2dx+4\underset{2}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)dx$

$=-\left(2x\right)|\begin{array}{l}{}_{}^5\\ {}_2^{}\end{array}+4.10$

$=-\left(10-4\right)+40=34$

Chọn đáp án B.

Câu 5.

Ta có: $\int {\displaystyle \frac{{\left(x+2\right)}^2}{x^4}}dx=\int {\displaystyle \frac{x^2+4x+4}{x^4}}dx$

$=\int \left({\displaystyle \frac{1}{x^2}}+{\displaystyle \frac{4}{x^3}}+{\displaystyle \frac{4}{x^4}}\right)dx$

$=-{\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{2}{x^2}}-{\displaystyle \frac{4}{3x^2}}+C$

Chọn đáp án A.

Câu 6.

Phương trình hoành độ giao điểm $x=4-x\iff 2x=4\iff x=2.$

Khi đó, thể tích hình phẳng được xác định là:$V_y=\pi \underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|x^2-{\left(2-x\right)}^2\right|dx=16\pi .$

Chọn đáp án D.

Câu 7.

Đặt $t=\sqrt{a-x}\Rightarrow t^2=a-x$

$\iff x=a-t^2\Rightarrow dx=-2tdt$

Khi đó ta có: $\int x\sqrt{a-x}dx=-2\int \left(a-t^2\right)t^{2}dt$

$=-2\int \left(a{t}^2-t^4\right)dt$$=-2\left({\displaystyle \frac{a{t}^3}{3}}-{\displaystyle \frac{t^5}{5}}\right)+C$

$={\displaystyle \frac{2}{5}}{t}^5-{\displaystyle \frac{2}{3}}a{t}^3+C$

$={\displaystyle \frac{2}{5}}{\left(a-x\right)}^{{\displaystyle \frac{5}{2}}}-{\displaystyle \frac{2}{3}}a{\left(a-x\right)}^{{\displaystyle \frac{3}{2}}}+C$

Chọn đáp án D.

Câu 8.

Phương trình hoành độ giao điểm giữa các đường thẳng là$\{\begin{array}{l}2-x=0\\ \sqrt{x}=0\\ \sqrt{x}=2-x\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=0\\ x=2\\ x=1\end{array}$

Khi đó diện tích của miền $\left(D\right)$ được xác định bởi:

$S=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(\sqrt{x}\right)dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(2-x\right)dx$

$=\left({\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^{{\displaystyle \frac{3}{2}}}\right)|\begin{array}{l}{}_{}^1\\ {}_0^{}\end{array}+\left(2x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}\right)|\begin{array}{l}{}^2\\ {}_1\end{array}$

$={\displaystyle \frac{2}{3}}+2-{\displaystyle \frac{3}{2}}={\displaystyle \frac{7}{6}}$

Chọn đáp án B.

Câu 9.

Ta có: $\int {\displaystyle \frac{{\ln }^{3}x}{x}}dx=\int {\ln }^{3}xd\left(\ln x\right)$$={\displaystyle \frac{1}{4}}{\ln }^{4}x+C$

Chọn đáp án D.

Câu 10.

Ta có: $\underset{0}{\overset{e}{\int }}\left(3x^2-7x+{\displaystyle \frac{1}{x+1}}\right)dx$

$=\left(x^3-{\displaystyle \frac{7}{2}}{x}^2+\ln \left|x+1\right|\right)|\begin{array}{l}{}^e\\ {}_0\end{array}$

$=\left(e^3-{\displaystyle \frac{7}{2}}{e}^2+\ln \left(e+1\right)\right)$

Chọn dáp án A.

Câu 11.

Ta có: $\underset{0}{\overset{4}{\int }}\left(3x-e^{{\displaystyle \frac{x}{2}}}\right)dx$

$=\left({\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2\right)|\begin{array}{l}{}^4\\ {}_0\end{array}-2\underset{0}{\overset{4}{\int }}{e}^{{\displaystyle \frac{x}{2}}}d\left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)$

$=24-2\left(e^{{\displaystyle \frac{x}{2}}}\right)|\begin{array}{l}{}^4\\ {}_0^{}\end{array}$

$=24-2\left(e^2-1\right)=26-2e^2$

Khi đó ta có: $\{\begin{array}{l}a=26\\ b=-2\end{array}\Rightarrow a-10b=26+20=46.$

Chọn đáp án B.

Câu 12.

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên đoạn $\left[a;b\right]$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y=f\left(x\right)$, trục hoành, các đường thẳng $x=a,x=b$ là: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f(a)\right|dx$

Chọn đáp án A.

Câu 13.

Ta có: $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}\left(1-f(x)+3g(x)\right)dx$

$=\left(x\right)|{}_{-2}^1-\underset{-2}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx+3\underset{-2}{\overset{1}{\int }}g\left(x\right)dx$

$=3-1+3.\left(-2\right)=-4$     

Chọn đáp án C.

Câu 14.

Áp dụng định nghĩa và tính chất của tích phân ta có:

+ $\underset{a}{\overset{b}{\int }}k.dx=k\underset{a}{\overset{b}{\int }}dx=k.\left(x\right)|{}_a^b=k\left(b-a\right),\mathrm{\forall }k\in R$

+ $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=-\underset{b}{\overset{a}{\int }}f(x)dx$

+$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{a}{\overset{c}{\int }}f(x)dx+\underset{c}{\overset{b}{\int }}f(x)dx,c\in [a;b]$

Chọn đáp án A.

Câu 15.

Đặt $t=\cos x$

Đổi cận: $\{\begin{array}{l}x=0\to t=1\\ x={\displaystyle \frac{\pi }{3}}\to t={\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$

Khi đó ta có: $\underset{0}{\overset{{\displaystyle \frac{\pi }{3}}}{\int }}{\displaystyle \frac{\sin 2x}{1+\cos x}}dx$

$=\underset{0}{\overset{{\displaystyle \frac{\pi }{3}}}{\int }}{\displaystyle \frac{2\sin x.\cos x}{1+\cos x}}dx$

$=-2\underset{0}{\overset{{\displaystyle \frac{\pi }{3}}}{\int }}{\displaystyle \frac{\cos x}{1+\cos x}}d\left(\cos x\right)$

$=-2\underset{1}{\overset{{\displaystyle \frac{1}{2}}}{\int }}{\displaystyle \frac{t}{1+t}}dt$

$=\underset{{\displaystyle \frac{1}{2}}}{\overset{1}{\int }}{\displaystyle \frac{2t}{t+1}}dt$

Chọn đáp án A.

Câu 16

Ta có $\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(A\sin \pi x+B\right)dx=4$

$\iff {\displaystyle \frac{1}{\pi }}\underset{0}{\overset{2}{\int }}A\sin \pi xd\left(\pi x\right)+B\underset{0}{\overset{2}{\int }}dx=4$

$\iff {\displaystyle \frac{A}{\pi }}\left(-\cos \pi x\right)|{}_0^2+B\left(x\right)|{}_0^2=4$

$\iff {\displaystyle \frac{A}{\pi }}\left(-1-\left(-1\right)\right)+B\left(2-0\right)=4$

$\iff B=2$

Khi đó $f(x)=A\sin \pi x+2$$\Rightarrow f^{\prime }\left(x\right)=A\pi \cos \pi x$

Theo giả thiết ta có: $f^{\prime }\left(1\right)=2\Rightarrow A\pi .\left(-1\right)=2$$\Rightarrow A=-{\displaystyle \frac{2}{\pi }}.$

Chọn đáp án D.

Câu 17.

Đặt $\{\begin{array}{l}u=\ln x\\ dv=xdx\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}du={\displaystyle \frac{1}{x}}dx\\ v={\displaystyle \frac{x^2}{2}}\end{array}$

Khi đó ta có: $I=\underset{1}{\overset{e}{\int }}x\ln xdx$

$=\left({\displaystyle \frac{x^2}{2}}\ln x\right)|\begin{array}{l}{}^e\\ {}_1\end{array}-\underset{1}{\overset{e}{\int }}{\displaystyle \frac{x}{2}}dx$

$={\displaystyle \frac{e^2}{2}}-\left({\displaystyle \frac{x^2}{4}}\right)|\begin{array}{l}{}^e\\ {}_1\end{array}$

$={\displaystyle \frac{e^2}{2}}-\left({\displaystyle \frac{e^2}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}\right)=I={\displaystyle \frac{e^2+1}{4}}$

Chọn đáp án C.

Câu 18.

Ta có: $\int \left(4\cos x+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}\right)dx$$=4\sin x-{\displaystyle \frac{1}{x}}+C$

Chọn đáp án C.

Câu 19.

Diện tích hình phằng giới hạn trên được xác định bằng công thức

$S=\underset{-2}{\overset{-1}{\int }}\left|x+{\displaystyle \frac{1}{x}}\right|dx=\left|{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+\ln \left|x\right|\right||\begin{array}{l}{}^{-1}\\ {}_{-2}\end{array}$

$=\left|\left|{\displaystyle \frac{1}{2}}+\ln 1\right|-\left|2+\ln 2\right|\right|$

$=\left|{\displaystyle \frac{1}{2}}-2-\ln 2\right|={\displaystyle \frac{3}{2}}+\ln 2$

Chọn đáp án C.

Câu 20.

Đổi cận: $\{\begin{array}{l}x=0\to u=9\\ x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\to u=8\end{array}$

Khi đó ta có: $I=\underset{0}{\overset{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}{\int }}\sin x\sqrt{8+\cos x}dx$

$=-\underset{0}{\overset{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}{\int }}\sqrt{8+\cos x}d\left(\cos x+8\right)$

$=-\underset{0}{\overset{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}{\int }}\sqrt{u}d\left(u\right)$

$=-\underset{9}{\overset{8}{\int }}\sqrt{u}du=\underset{8}{\overset{9}{\int }}\sqrt{u}du$

Chọn đáp án C.

Câu 21.

Ta có: $\int {\displaystyle \frac{1}{x-1}}dx=\int {\displaystyle \frac{1}{x-1}}d\left(x-1\right)$$=\ln \left|x-1\right|+C$

Theo giả thiết: $F\left(2\right)=1\Rightarrow \ln 1+C=1\iff C=1$

Khi đó $F\left(3\right)=\ln 2+1.$

Chọn đáp án D.

Câu 22.

Thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi $\left(H\right)$quay quanh trục Ox được xác định bằng công thức

$V=\pi \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{\sin }^{2}xdx$

Chọn đáp án A.

Câu 23.

Đổi cận: $\{\begin{array}{l}x=0\to t=0\\ x=1\to t={\displaystyle \frac{\pi }{6}}\end{array}$

Khi đó ta có:

$\begin{array}{l}I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{4-x^2}}}dx\\ =\underset{0}{\overset{{\displaystyle \frac{\pi }{6}}}{\int }}{\displaystyle \frac{4}{\sqrt{4-4{\sin }^{2}t}}}d\left(\sin t\right)\\ =\underset{0}{\overset{{\displaystyle \frac{\pi }{6}}}{\int }}{\displaystyle \frac{2}{\cos t}}.\cos tdt=I=2\underset{0}{\overset{{\displaystyle \frac{\pi }{6}}}{\int }}dt\end{array}$

Chọn đáp án D.

Câu 24.

Ta có:

$I=\underset{1}{\overset{e}{\int }}{\displaystyle \frac{\sqrt{8\ln x+1}}{x}}dx$

$={\displaystyle \frac{1}{8}}\underset{1}{\overset{e}{\int }}\sqrt{8\ln x+1}d\left(8\ln x+1\right)$

$={\displaystyle \frac{1}{8}}.{\displaystyle \frac{2}{3}}{\left(8\ln x+1\right)}^{{\displaystyle \frac{3}{2}}}|\begin{array}{l}{}^e\\ {}_1\end{array}$

$={\displaystyle \frac{1}{12}}\left(9^{{\displaystyle \frac{3}{2}}}-1\right)={\displaystyle \frac{13}{6}}$

Chọn đáp án B.

Câu 25.

Ta có: $\int {\displaystyle \frac{1}{6x-2}}dx={\displaystyle \frac{1}{6}}\int {\displaystyle \frac{1}{6x-2}}d\left(6x-2\right)$$={\displaystyle \frac{1}{6}}\ln \left|6x-2\right|+C$

Chọn đáp án B.

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]