Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Đề số 2 – Chương IV - Giải tích 12

Đề bài

Câu 1. Cho số phức z thỏa mãn $2z-\left(3+4i\right)=5-2i$. Mô đun của z bằng bao nhiêu ?

A. $\sqrt{15}$.                             B. 5  

C. $\sqrt{17}$                              D. $\sqrt{29}$.

Câu 2. Cho số phức $z={\left({\displaystyle \frac{1+2i}{2-i}}\right)}^{2022}$. Tìm phát biểu đúng .

A. z là số thuần ảo.  

B. z có phần thực âm.

C. z là số thực.     

D. z có phần thực dương.

Câu 3. Trong C, cho phương trình bậc hai $a{z}^2+bz+c=0(\ast )(a\ne 0)$. Gọi $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$. Ta xét các mệnh đề:

+ Nếu $\mathrm{\Delta }$ là số thực âm thì phương trình (*) vô nghiệm.

+ Nếu $\mathrm{\Delta }\ne 0$ thì phương trình có hai nghiệm số phân biệt.

+ Nếu $\mathrm{\Delta }=0$ thì phương trình có một nghiệm kép.

Trong các nệnh đề trên:

A. Cả ba mệnh đề đều đúng . 

B. Có một mệnh đề đúng.

C. Không mệnh đề nào đúng .

D. Có hai mệnh đề đúng.

Câu 4. Số phức nghịch đảo của số phức $z=1-\sqrt{3}i$ là:

A. ${\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i$.

B. $1+\sqrt{3}i$.

C. ${\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}i$.    

D. $-1+\sqrt{3}i$.

Câu 5. Biết nghịch đảo của số phức z là liên hợp của nó. Chọn mệnh đề đúng

A. $|z|=2$     

B. $|z|=1$.

C. z là số thực.              

D. z là số thuần ảo.

Câu 6. Cho số phức $z=a+bi$. Tìm mệnh đề đúng.

A. $z-\bar{z}=2a$.    

B. $z+\bar{z}=2bi$.

C. $|z^2|=|z{|}^2$.        

D. $z.\bar{z}=a^2+b^2$.

Câu 7. Thu gọn số phức $i\left(2-i\right)\left(3+i\right)$ ta được:

A. 6.          

B. 2 + 5i.

C. 1 + 7i.               

D. 7i.

Câu 8. Gọi $z_1,z_2$ là hai nghiệm của phương trình $z^2-2z+2=0$. Tính giá trị của $P=\left|{\displaystyle \frac{1}{z_1}}+{\displaystyle \frac{1}{z_2}}\right|$.

A. P = 1           

B. P = 4.

C. P = 0.        

D. P = $\sqrt{2}$.

Câu 9. Cho số phức z = 2 – 3i . Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A. Phần thực của z bằng 2 và phần ảo của z bằng 3i.

B. Phần thực của z bằng 2 và phần ảo của z bằng 3.

C. Phần thực của z bằng 2 và phần ảo của z bằng - 3i.

D. Phần thực của z bằng 2 và phần ảo của z bằng - 3.

Câu 10. Tìm b, c $\in R$ để phương trình $2z^2-bz+c=0$ có hai nghiệm thuần ảo.

A. $\{\begin{array}{l}b>0\\ c=0\end{array}$.          

B. $\{\begin{array}{l}b=0\\ c<2\end{array}$.

C. $\{\begin{array}{l}b=0\\ c>-2\end{array}$.          

D. $\{\begin{array}{l}b=0\\ c>0\end{array}$.

Câu 11. Hai số phức $z=a+bi,z^{\prime }=a+b^{\prime }i$ bằng nhau khi:

A. $a=b^{\prime }$.            

B. a = b .

C. $b=b^{\prime }$.              

D. a = - b.

Câu 12. Số phức $z={\displaystyle \frac{3+4i}{2+3i}}+{\displaystyle \frac{5-2i}{2-3i}}$ bằng:

A. ${\displaystyle \frac{34}{13}}+{\displaystyle \frac{10}{13}}i$.    

B. ${\displaystyle \frac{34}{13}}-{\displaystyle \frac{10}{13}}i$.

C. $-{\displaystyle \frac{34}{13}}+{\displaystyle \frac{10}{13}}i$.         

D. $-{\displaystyle \frac{34}{13}}-{\displaystyle \frac{10}{13}}i$.

Câu 13. Cho hai nghiệm $z_1=-\sqrt{3}+i\sqrt{2},z_2=-\sqrt{3}-i\sqrt{2}$. Phương trình bậc hai có nghiệm là hai nghiệm trên là:

A. $z^2+3\sqrt{2}z+5=0$.  

B. $z^2+2\sqrt{3}z+5=0$.

C. $z^2-2\sqrt{3}z+5=0$.

D. $z^2+5z+2\sqrt{3=0}$.

Câu 14. Cho số phức  thỏa mãn điều kiện $|z-2+2i|=1$. Tìm giá trị lớn nhất của $|z|$.

A. $max|z|=2\sqrt{2}+1$.    

 B. $max|z|=2\sqrt{2}$.

C. $max|z|=2\sqrt{2}+2$

D. $max|z|=2\sqrt{2}-1$.

Câu 15. Phần thực và phần ảo của số phức $z={\left(1+\sqrt{3}i\right)}^2$ là:

A. 1 và 3. 

B. 1 và – 3 .

C. – 2 và $2\sqrt{3}$.   

D. 2 và $-2\sqrt{3}$.

Câu 16. Cho số phức z có điểm biểu diễn nằm trên đường thẳng 3x – 4y – 3 =0, $|z|$ nhỏ nhất bằng:

A. ${\displaystyle \frac{1}{5}}$                              B. ${\displaystyle \frac{4}{5}}$        

C.${\displaystyle \frac{2}{5}}$                               D. ${\displaystyle \frac{3}{5}}$.

Câu 17. Mô đun của số phức z thỏa mãn $\bar{z}=8-6i$ là:

A. 2                                B. 10  

C. 14                              D. $2\sqrt{7}$.

Câu 18. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn $|z|=3$ là:

A. Hai đường thẳng .

B. Đường tròn bán kính bằng 3.

C. Đường tròn bán kính bằng 9.

D. Hình tròn bán kính  bằng 3.

Câu 19. Cho $z=r\left(\cos \phi +i\sin \phi \right)$. Chọn mệnh đề đúng.

A. r là acgumen của z. 

B. r là mô đun của z.

C. $\cos \phi$ là acgumen của z.     

D. $\sin \phi$ là acgumen của z.

Câu 20. Tích của hai số phức $z_1=3+2i,z_2=2-3i$ là;

A. 6 – 6i .                  

B. 12 + 12i.

C. 12 – 5i.              

D. 12 + 5i.

Câu 21. Số phức z có mô đun r = 3 và acgumen $\phi =\pi$ thì có dạng lượng giác là:

A. $z=3\left(\cos 2\pi +i\sin 2\pi \right)$. 

B. $z=3\left(\cos \left(-\pi \right)+i\sin \left(-\pi \right)\right)$.

C. $z=3\left(\sin \pi +i\cos \pi \right)$.

D. $z=3\left(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}3\pi +i\cos 3\pi \right)$.

Câu 22. Phương trình $z^2+4z+13=0$có các nghiệm là;

A. $2\pm 3i$.    

B. $4\pm 6i$.

C. $-4\pm 6i$.  

D. $-2\pm 3i$

Câu 23. Gọi $\phi$ là 1 acgumen cảu số phức z có biểu diễn là $M\left({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}};{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$nằm trên đường tròn đơn vị, số đo nào sau đây có thể là một acgumen của z ?

A. ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$                          B. ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$      

C. ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$                          D. ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$.

Câu 24. Tìm điểm M biểu diễn số phức z = 3 - 4i.

A. M ( 3 ; - 4).             B. M (3 ; 4).

C. M ( -3 ; 4).              D. M (-4  ; 3).

Câu 25. Cho số phức z = 6 + 8i. Giá trị của $S=2|z|-1$ bằng bao nhiêu ?

A. S = 10.                    B. S = 19.

C. S = 11.                    D. S = 15.

Lời giải chi tiết

 Lời giải chi tiết 

Câu 1: C

$\begin{array}{l}2z-\left(3+4i\right)=5-2i\\ \iff 2z=5-2i+3+4i\\ \iff 2z=8+2i\\ \iff z=4+i\\ \Rightarrow \left|z\right|=\sqrt{4^2+1}=\sqrt{17}\end{array}$

Câu 2: C

$\begin{array}{l}z={\left({\displaystyle \frac{1+2i}{2-i}}\right)}^{2022}\\ ={\left[{\displaystyle \frac{\left(1+2i\right)\left(2+i\right)}{2^2-i^2}}\right]}^{2022}\\ ={\left[{\displaystyle \frac{2+5i+2i^2}{5}}\right]}^{2022}\\ =i^{2022}={\left(i^2\right)}^{1011}\\ ={\left(-1\right)}^{1011}=-1\end{array}$

Câu 3: D

Câu 4:C

$z=1-i\sqrt{3}$

Số phức liên hợp của z là ${\displaystyle \frac{1}{z}}={\displaystyle \frac{1}{1-i\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{1+i\sqrt{3}}{1-3i^2}}$$={\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}i$

Câu 5: B

Đặt  z = a + bi       $a,b\in \mathbb{Z}$

$\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{1}{z}}=\bar{z}\\ \Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{a+bi}}=a-bi\\ \Rightarrow 1=\left(a+bi\right)\left(a-bi\right)\\ \iff 1=a^2-b^2{i}^2\\ \Rightarrow 1=a^2+b^2\\ \Rightarrow 1=\left|z\right|\end{array}$

Câu 6: D

Đặt z = a + bi                            $a,b\in \mathbb{Z}$

$\begin{array}{l}z-\bar{z}=a+bi-\left(a-bi\right)=2bi\\ z+\bar{z}=a+bi+\left(a-bi\right)=2a\\ \left|z^2\right|=\left|{\left(a+bi\right)}^2\right|=\left|a^2-b^2+2abi\right|\\ =\sqrt{{\left(a^2-b^2\right)}^2+4a^2{b}^2}\\ =\sqrt{a^4+2a^2{b}^2+b^4}\\ =\sqrt{{\left(a^2+b^2\right)}^2}=a^2+b^2\\ z\bar{z}=(a+bi)\left(a-bi\right)\\ =a^2-b^2{i}^2=a^2+b^2\end{array}$

Câu 7: C

$i(2-i)(3+i)=i\left(6-i-i^2\right)$$=i\left(7-i\right)=1+7i$

Câu 8: A

$$$\begin{array}{l}{z}^2-2z+2=0\\ \iff \left(z^2-2z+1\right)+1=0\\ \iff {\left(z-1\right)}^2+1=0\\ \iff {\left(z-1\right)}^2=-1\\ \Rightarrow {\left(z-1\right)}^2=i^2\\ \iff [\begin{array}{c}z-1=i\\ z-1=-i\end{array}\\ \iff [\begin{array}{c}{z}_1=1+i\\ z_2=1-i\end{array}\end{array}$

Có $\begin{array}{l}P=\left|{\displaystyle \frac{1}{z_1}}+{\displaystyle \frac{1}{z_2}}\right|=\left|{\displaystyle \frac{1}{1+i}}+{\displaystyle \frac{1}{1-i}}\right|\\ =\left|{\displaystyle \frac{1-i+1+i}{\left(1+i\right)\left(1-i\right)}}\right|=\left|{\displaystyle \frac{1}{1-i^2}}\right|=1\end{array}$

Câu 9: D

Câu 10: D

Để pt $2z^2-bz+c=0$có hai nghiệm thuần ảo

  $\begin{array}{l}\Rightarrow \mathrm{\Delta }<0\\ \Rightarrow b^2-4.2.c<0\\ \Rightarrow b^2-8c<0\end{array}$

Câu 11: C

Câu 12:A

$\begin{array}{l}z={\displaystyle \frac{3+4i}{2+3i}}+{\displaystyle \frac{5-2i}{2-3i}}\\ ={\displaystyle \frac{\left(3+4i\right)\left(2-3i\right)+\left(5-2i\right)\left(2+3i\right)}{4-9i^2}}\\ ={\displaystyle \frac{6-i-12i^2+10+11i-6i^2}{13}}\\ ={\displaystyle \frac{34}{13}}+{\displaystyle \frac{10}{13}}i\end{array}$

Câu 13: B

PT bậc hai có 2 nghiệm  $z_1=-\sqrt{3}+i\sqrt{2};z_2=-\sqrt{3}-i\sqrt{2}$:

$\begin{array}{l}\left[z-\left(-\sqrt{3}+i\sqrt{2}\right)\right]\left[z-\left(-\sqrt{3}-i\sqrt{2}\right)\right]=0\\ \iff z^2+2\sqrt{3}z+3-2i^2=0\\ \iff z^2+2\sqrt{3}z+5=0\end{array}$

Câu 14: A

Đặt z = x +yi               M (x, y)

$\begin{array}{l}\left|z-2+2i\right|=1\\ \Rightarrow \left|x+yi-2+2i\right|=1\\ \Rightarrow \left|\left(x-2\right)+\left(y+2\right)i\right|=1\\ \Rightarrow \sqrt{{(x-2)}^2+{(y+2)}^2}=1\end{array}$

Tập hợp  các điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(2,-2), bán kính r=1

Ta có $\left|z\right|=\left|x=yi\right|=\sqrt{x^2+y^2}$

Lấy H( 0, 0) và M( x, y) thì $HM=\sqrt{x^2+y^2}$

Do M chạy trên đường tròn, H cố định nên MH lớn nhất khi M là giao điểm của HI với đường tròn

Với  H( 0, 0) và I( 2, -2) nên $\overrightarrow{HI}=(2,-2)$

Phương trình đường  thẳng HI:

$(1)\{\begin{array}{l}x=2t\\ y=-2t\end{array}$

Do HI giao với đường tròn nên ta thay (1) vào pt đường tròn, ta được:

$\begin{array}{l}{\left(2t-2\right)}^2+{\left(-2t+2\right)}^2=1\\ \iff 8{\left(t-1\right)}^2=1\\ \iff (t-1{)}^2={\displaystyle \frac{1}{8}}\\ \iff [\begin{array}{c}t-1={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{2}}}\\ t-1={\displaystyle \frac{-1}{2\sqrt{2}}}\end{array}\\ \iff [\begin{array}{c}t=1+{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{2}}}\\ t=1-{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{2}}}\end{array}\end{array}$

$\Rightarrow M_1\left(2+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},-2-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\right)$ $\Rightarrow H{M}_1=2\sqrt{2}+1$

$\Rightarrow M_2\left(2-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},-2+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\right)$ $\Rightarrow H{M}_2=2\sqrt{2}-1$

$\Rightarrow {\left|z\right|}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=H{M}_1=2\sqrt{2}+1$  với $M_1\left(2+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},-2-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\right)$

Câu 15: C

$z={\left(1+i\sqrt{3}\right)}^2=1+2\sqrt{3}i+3i^2$$=-2+2\sqrt{3}i$

phần thực: -2 ; phần ảo: $2\sqrt{3}$

Câu 16: D

$\left(\mathrm{\Delta }\right):3x-4y-3=0$

Đặt z= x+yi

$\left|z\right|=\left|x+yi\right|=\sqrt{x^2+y^2}$

L ấy O(0, 0).

Ta  có |z|_min khi kh oảng  c ách t ừ O đ ến $\left(\mathrm{\Delta }\right)$ l à ng ắn nh ất

${\left|z\right|}_{min}=d(O^{\prime },\mathrm{\Delta })={\displaystyle \frac{\left|3.0-4.0-3\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}}$$={\displaystyle \frac{3}{5}}$

Câu 17: B

$\left|z\right|=\left|\bar{z}\right|=\sqrt{8^2+6^2}=10$

Câu 18: B

Đặt z = x + yi

$\begin{array}{l}\left|z\right|=3\Rightarrow \left|x+yi\right|=3\\ \Rightarrow \sqrt{x^2+y^2}=3\end{array}$

Tập hợp biểu diễn số phức z là đường tròn tâm 0( 0, 0), bán kính bằng 3

Câu 19: B

Câu 20: C

Với z₁= 3 + 2i , z₂= 2 – 3i

$z_1.z_2=\left(3+2i\right)\left(2-3i\right)$$=6-5i-6i^2=12-5i$

Câu 21: B

Câu 22: D

$\begin{array}{l}{z}^2+4z+13=0\\ \iff \left(z^2+4z+4\right)+9=0\\ \iff {\left(z+2\right)}^2=-9\\ \Rightarrow {\left(z+2\right)}^2=9i^2\\ \Rightarrow [\begin{array}{c}z+2=3i\\ z+2=-3i\end{array}\iff [\begin{array}{c}z=-2+3i\\ z=-2-3i\end{array}\end{array}$

Câu 23: D

Câu 24: A

Câu 25: B

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]