Giải đề thi học kì 1 toán lớp 12 năm 2019 - 2020 sở giáo dục Vĩnh Phúc

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM: (3,0 điểm).

Câu 1. Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm $f^{\prime }\left(x\right)=3x^2+1,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}.$Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau

A.Hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến trên khoảng $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };0\right).$

B. Hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };0\right)$ và nghịch biến trên khoảng

$\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$.

C.Hàm số $y=f\left(x\right)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}.$

D. Hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}.$

Câu 2. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }.$ Mặt phẳng nào sau đây chia hình hộp chữ nhật thành hai phần có thể tích bằng nhau?

A.$\left(AB{C}^{\prime }{D}^{\prime }\right).$             B.$\left(A^{\prime }{C}^{\prime }B\right).$

C. $\left(AC{B}^{\prime }\right).$                D. $\left(BD{A}^{\prime }\right).$

Câu 3. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y={\displaystyle \frac{x-2}{2x+1}}$ là

A.$0.$                                    B.$3.$

C. $1.$                                   D. $2.$

Câu 4. Số cạnh của hình bát diện đều là :

A. $10.$                                    B. $6.$

C.$8$.                                       D. $12.$

Câu 5. Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=x+{\displaystyle \frac{4}{x}}$ trên khoảng $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$ bằng

A.$3.$                        B.$4.$

C. $5.$                        D. $1.$

Câu 6. Giá trị lớn nhất của hàm số $y=x^3-3x+2$ trên đoạn $\left[-3;3\right]$ bằng

A.$20.$                        B.$4.$

C. $0.$                          D. $-16.$

Câu 7. Tính giá trị biểu thức $P=9^{{\log }_{2}4}-8^{{\log }_{2}3}$ .

A.$P=-11.$            B.$P=-17.$

C. $P=0.$                D. $P=-1.$

Câu 8. Tính thể tích khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng $a.$

A.${\displaystyle \frac{\sqrt{3}{a}^3}{6}}.$                   B.${\displaystyle \frac{\sqrt{3}{a}^3}{4}}.$

C.${\displaystyle \frac{\sqrt{3}{a}^3}{12}}.$                    D. ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}{a}^3}{4}}.$

Câu 9. Cho khối chóp có diện tích đáy bằng $B,$ chiều cao bằng $h.$ Thể tích $V$ của khối chóp đó là

A.$V={\displaystyle \frac{B}{h}}.$                   B.$V={\displaystyle \frac{3B}{h}}$

C. $V={\displaystyle \frac{1}{3}}B.h.$             D. $V=B.h.$

Câu 10. Hàm số $y=x^3-3x$ nghịch biến trên khoảng nào sau đây ?

A.$\left(0;+\mathrm{\infty }\right).$

B.$\left(1;+\mathrm{\infty }\right).$

C.$\left(-1;1\right).$

D. $\left(-\mathrm{\infty };3\right).$

Câu 11. Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây ?

A.$y=-x^4-2x^2+3.$                      B.$y=x^4-4x^2+3.$

C. $y=x^4-2x^2-3.$             D. $y=x^3-4x^2+3.$

Câu 12. Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có bảng xét dấu đạo hàm như sau :

Hàm số $y=f\left(x\right)$ nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây ?

A.$\left(-2;+\mathrm{\infty }\right).$                              B.$\left(-2;1\right).$

C.$\left(-\mathrm{\infty };-2\right).$                               D. $\left(1;3\right).$

 II. TỰ LUẬN (7đ).

Câu 13 (1,0 điểm).  Gọi $A,B$ là các điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=x^3+3x^2-4.$ Tính độ dài đoạn thẳng $AB.$

Câu 14 (1,0 điểm).  Rút gọn biểu thức $P={\displaystyle \frac{a^{\sqrt{3}+1}.a^{2-\sqrt{3}}}{{\left(a^{\sqrt{2}-2}\right)}^{\sqrt{2}+2}}},$ với $a>0.$ 

Câu 15 (1,0 điểm). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $\left(C\right):y={\displaystyle \frac{2x-3}{x+1}}$ tại giao điểm của $\left(C\right)$ với trục tung.

Câu 16 (1,0 điểm). Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $d:y=7x+m$ cắt đồ thị hàm số $\left(C\right):y=x^3+2x^2-2$ tại $3$ điểm phân biệt.

Câu 17 (1,0 điểm). Cho lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B.$ Gọi $H$ là chân đường cao kẻ từ $B$ xuống $AC,$ biết $B^{\prime }H\mathrm{\perp }\left(ABC\right)$ và $AB=1,AC=2,A{A}^{\prime }=\sqrt{5}.$ Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.

Câu 18 (0,5 điểm). Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a,$ mặt bên $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ theo $a.$

 Câu 19 (0,5 điểm). Cho các số thực $a,b$ thỏa mãn $a>b>1.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P={\log }_{{\displaystyle \frac{a}{b}}}^2\left(ab\right)+12{\log }_b\left({\displaystyle \frac{a}{b}}\right)-2.$

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Thực hiện: Ban chuyên môn [hoctot.me - Trợ lý học tập AI]

PHẦN I: TRẮC NGHIỆM (3 điểm)

Câu 1 (NB)

Phương pháp:

Xét dấu đạo hàm tìm khoảng đồng biến nghịch biến.

Cách giải:

Ta có: $f^{\prime }\left(x\right)=3x^2+1>0,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Chọn D.

Câu 2 (NB)

Phương pháp:

Dựng hình và nhận xét.

Cách giải:

Từ hình vẽ ta thấy mặt phẳng $\left(AB{C}^{\prime }{D}^{\prime }\right)$ chia hình hộp thành hai khối đa diện $A{A}^{\prime }{D}^{\prime }.B{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ và $AD{D}^{\prime }.BC{C}^{\prime }$ có thể tích bằng nhau.

Chọn A.

Câu 3 (NB)

Phương pháp:

Hàm số phân thức $y={\displaystyle \frac{ax+b}{cx+d}}\left(ad-bc\ne 0\right)$ luôn có một đường tiệm cận đứng và một đường TCN.

Cách giải:

Đồ thị hàm số $y={\displaystyle \frac{x-2}{2x+1}}$ có TCĐ $x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ và TCN $y={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Vậy có $2$ đường tiệm cận.

Chọn D.

Câu 4 (NB)

Phương pháp:

Sử dụng lý thuyết hình bát diện đều.

Cách giải:

Hình bát diện đều có $12$ cạnh.

Chọn D.

Câu 5 (TH)

Phương pháp:

Sử dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương $a+b\ge 2\sqrt{ab}$.

Cách giải:

Ta có: $x>0$ nên $x+{\displaystyle \frac{4}{x}}\ge 2\sqrt{x.{\displaystyle \frac{4}{x}}}=4$.

Dấu “=” xảy ra khi $x={\displaystyle \frac{4}{x}}\iff x=2$.

Chọn B.

Câu 6 (TH)

Phương pháp:

- Tính đạo hàm $y^{\prime }$ và tìm nghiệm trong đoạn $\left[-3;3\right]$.

- Tính giá trị của hàm số tại các điểm mút và nghiệm tìm được ở trên.

- So sánh kết quả và kết luận.

Cách giải:

Ta có: $y^{\prime }=3x^2-3=3\left(x^2-1\right)$

$y^{\prime }=0\iff x=\pm 1\in \left[-3;3\right]$

Có $y\left(-1\right)=4,y\left(1\right)=0,$ $y\left(-3\right)=-16,y\left(3\right)=20$

Do đó $\underset{\left[-3;3\right]}{max}y=20$ khi $x=3$.

Chọn A.

Câu 7 (TH)

Phương pháp:

Sử dụng công thức $a^{{\log }_{a}b}=b$ và ${\log }_a{b}^n=n{\log }_{a}b$.

Cách giải:

Ta có: $9^{{\log }_{3}4}-8^{{\log }_{2}3}=3^{2{\log }_3{2}^2}-2^{3{\log }_{2}3}$ $=3^{4{\log }_{3}2}-2^{3{\log }_{2}3}$ $={\left(3^{{\log }_{3}2}\right)}^4-{\left(2^{{\log }_{2}3}\right)}^3$ $=2^4-3^3=-11$

Chọn A.

Câu 8 (TH)

Phương pháp:

Thể tích lăng trụ $V=Sh$ với $S$ là diện tích đáy, $h$ là chiều cao.

Cách giải:

Diện tích đáy $S={\displaystyle \frac{a^2\sqrt{3}}{4}}$

Thể tích $V=Sh={\displaystyle \frac{a^2\sqrt{3}}{4}}.a={\displaystyle \frac{a^3\sqrt{3}}{4}}$.

Chọn B.

Câu 9 (NB)

Phương pháp:

Thể tích khối chóp $V={\displaystyle \frac{1}{3}}Bh$

Cách giải:

Thể tích khối chóp $V={\displaystyle \frac{1}{3}}Bh$

Chọn C.

Câu 10 (TH)

Phương pháp:

- Tính đạo hàm $y^{\prime }$ và tìm nghiệm.

- Xét dấu $y^{\prime }$ và tìm khoảng nghịch biến (khoảng làm cho $y^{\prime }<0$)

Cách giải:

Ta có: $y^{\prime }=3x^2-3=3\left(x^2-1\right)$

$y^{\prime }=0\iff x=\pm 1$

$y^{\prime }<0\iff -1<x<1$ nên hàm số nghịch biến trên $\left(-1;1\right)$.

Chọn C.

Câu 11 (NB)

Phương pháp:

Quan sát đồ thị và nhận xét dáng đồ thị, điểm đi qua và đối chiếu các đáp án.

Cách giải:

Từ đồ thị ta thấy đây là đồ thị hàm bậc bốn trùng phương có hệ số $a>0$, loại A, D.

Đồ thị hàm số đi qua điểm $\left(0;3\right)$ nên chỉ có đáp án B thỏa mãn.

Chọn B.

Câu 12 (NB)

Phương pháp:

Khoảng làm cho $y^{\prime }<0$ là khoảng nghịch biến của hàm số.

Cách giải:

Từ BBT ta thấy $f^{\prime }\left(x\right)<0\iff [\begin{array}{l}x<-2\\ x>3\end{array}$

Do đó hàm số nghịch biến trên $\left(-\mathrm{\infty };-2\right)$ và $\left(3;+\mathrm{\infty }\right)$.

Chọn C.

PHẦN II: TỰ LUẬN (7 điểm)

Câu 13 (VD)

Phương pháp:

- Tính $y^{\prime }$, tìm nghiệm.

- Tìm tọa độ các điểm cực trị và tính khoảng cách.

Cách giải:

Có $y^{\prime }=3x^2+6x,y^{\prime }=0$ $\iff [\begin{array}{l}x=0\Rightarrow y=-4\\ x=-2\Rightarrow y=0\end{array}$

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là $A\left(0;-4\right),B\left(-2;0\right).$

Độ dài $AB=\sqrt{{\left(-2\right)}^2+4^2}=2\sqrt{5}.$

Câu 14 (TH)

Phương pháp:

Sử dụng các công thức $a^m.a^n=a^{m+n},a^m:a^n=a^{m-n}$ và ${\left(a^m\right)}^n=a^{mn}$.

Cách giải:

$P={\displaystyle \frac{a^{\sqrt{3}+1}.a^{2-\sqrt{3}}}{{\left(a^{\sqrt{2}-2}\right)}^{\sqrt{2}+2}}}={\displaystyle \frac{a^{\sqrt{3}+1+2-\sqrt{3}}}{a^{\left(\sqrt{2}-2\right)\left(\sqrt{2}+2\right)}}}$

$P={\displaystyle \frac{a^3}{a^{2-4}}}=a^5.$

Câu 15 (VD)

Phương pháp:

- Tìm giao điểm của $\left(P\right)$ với trục tung.

- Phương trình tiếp tuyến $y=f^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)$.

Cách giải:

Cho $x=0\Rightarrow y=-3$ nên $\left(C\right)$ cắt $Oy$ tại $A\left(0;-3\right).$

Có $y^{\prime }={\displaystyle \frac{5}{{\left(x+1\right)}^2}}\Rightarrow y^{\prime }\left(0\right)=5.$

Phương trình tiếp tuyến của $\left(C\right)$ tại $A$ là $y=5x-3$.

Câu 16 (VD):

Phương pháp:

- Xét phương trình hoành độ giao điểm.

- Tìm điều kiện của tham số để phương trình có ba nghiệm phân biệt bằng phương pháp hàm số.

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm $x^3+2x^2-2=7x+m$ $\iff x^3+2x^2-7x-2=m$

Xét hàm số $f\left(x\right)=x^3+2x^2-7x-2,$ có $f^{\prime }\left(x\right)=3x^2+4x-7$

$f^{\prime }\left(x\right)=0\iff [\begin{array}{l}x=1\\ x=-{\displaystyle \frac{7}{3}}\end{array}$

BBT

Từ BBT suy ra để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt thì $-6<m<{\displaystyle \frac{338}{27}}$.

Câu 17 (VD)

Phương pháp:

Thể tích lăng trụ $V=Sh$ với $S$ là diện tích đáy, $h$ là chiều cao.

Cách giải:

Ta có $AB=1,AC=2$ $\Rightarrow BC=\sqrt{A{C}^2-A{B}^2}=\sqrt{3}.$

Vậy $S_{ABC}={\displaystyle \frac{1}{2}}BA.BC={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$

$BH={\displaystyle \frac{BA.BC}{AC}}={\displaystyle \frac{1.\sqrt{3}}{2}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}.$

$B^{\prime }H=\sqrt{BB{}^{\prime 2}-B{H}^2}=\sqrt{5-{\displaystyle \frac{3}{4}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{17}}{2}}.$

Do đó $V_{ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=B^{\prime }H.S_{ABC}$ $={\displaystyle \frac{\sqrt{17}}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}={\displaystyle \frac{\sqrt{51}}{4}}.$

Câu 18 (VD):

Phương pháp:

Gọi $H$ là trung điểm $AB$, chứng minh $SH\mathrm{\perp }\left(ABCD\right)$.

Thể tích hình chóp $V={\displaystyle \frac{1}{3}}Sh$.

Cách giải:

Gọi $H$ là trung điểm $AB$ $\Rightarrow SH\mathrm{\perp }\left(ABCD\right).$

Do $SAB$ đều cạnh $a$ nên $SH={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}}.$

Diện tích đáy $S_{ABCD}=a^2$

Thể tích khối chóp cần tìm là $V={\displaystyle \frac{1}{3}}SH.S_{ABCD}$  $={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}}\cdot a^2={\displaystyle \frac{\sqrt{3}{a}^3}{6}}.$

Câu 19 (VDC):

Phương pháp:

Biến đổi biểu thức về chỉ xuất hiện ${\log }_b{\displaystyle \frac{a}{b}}$ và đặt $t={\log }_{{\displaystyle \frac{a}{b}}}b$.

Tìm GTNN bằng phương pháp hàm số và kết luận.

Cách giải:

Có $P={\log }_{{\displaystyle \frac{a}{b}}}^2\left(ab\right)+12{\log }_b\left({\displaystyle \frac{a}{b}}\right)-2$ $={\left[{\log }_{{\displaystyle \frac{a}{b}}}\left({\displaystyle \frac{a}{b}}\cdot b^2\right)\right]}^2+12{\log }_b\left({\displaystyle \frac{a}{b}}\right)-2$

$={\left(1+2{\log }_{{\displaystyle \frac{a}{b}}}b\right)}^2+{\displaystyle \frac{12}{{\log }_{{\displaystyle \frac{a}{b}}}b}}-2$

Đặt $t={\log }_{{\displaystyle \frac{a}{b}}}b,t>0$ do $a>b>1.$

Khi đó, $P=f\left(t\right)={\left(1+2t\right)}^2+{\displaystyle \frac{12}{t}}-2$ $=4t^2+4t+{\displaystyle \frac{12}{t}}-1$ với $t>0.$

Có $f^{\prime }\left(t\right)=8t+4-{\displaystyle \frac{12}{t^2}}={\displaystyle \frac{8t^3+4t^2-12}{t^2}},$ $f^{\prime }\left(t\right)=0\iff t=1.$

BBT

Từ BBT suy ra giá trị nhỏ nhất của $P$ là $minP=\underset{\left(0;+\mathrm{\infty }\right)}{min}f\left(t\right)=19.$

Dấu “=” xảy ra khi $t=1\iff {\log }_{{\displaystyle \frac{a}{b}}}b=1$ $\iff b={\displaystyle \frac{a}{b}}\iff a=b^2$.

hoctot.me