Đề thi học kì 1 môn toán lớp 12 năm 2019 - 2020 sở GDĐT Gia Lai

A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (40 câu, từ câu 1 đến câu 40).

Câu 1(NB): Đường cong của hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

A.  $y=-x^3+3x+2$   B. $y={\displaystyle \frac{2x+1}{x-1}}$

C. $y={\displaystyle \frac{x+1}{x-1}}$      D. $y=x^3-3x+2$

Câu 2(TH):  Tổng số đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y={\displaystyle \frac{x^2+3x}{x^2-4}}$ là

A. 3              B.2                C.1            D. 4

Câu 3(TH): Hàm số $y=x^3-x^2-x+2$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $\left(-1;{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)$                   B. $\left(1;+\mathrm{\infty }\right)$          C. $\left(-{\displaystyle \frac{1}{3}};1\right)$        D. $\left(-\mathrm{\infty };-1\right)$

Câu 4(NB): Đường cong của hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

A. $y=x^4+2x^2+3$

B. $y=x^4-2x^2+3$

C. $y=-x^4-2x^2+3$

D. $y=-x^4+2x^2+3$

Câu 5(NB): Cho $a,m$ là 2 số thực thỏa mãn $0<a\ne 1$ và ${\log }_{a}2=m$. Giá trị của biểu thức $a^m+a^{-m}$ bằng

A. $0$                                    B. ${\displaystyle \frac{5}{2}}$                 C. $1$                                    D. ${\displaystyle \frac{3}{2}}$

Câu 6(TH): Tính tổng các nghiệm của phương trình $\ln \left(x^2-3x\right)=0$

A. 1                                        B. 3                                         C. $-1$                                D. $-3$

Câu 7(NB): Cho hàm số $y=f\left(x\right)$. Hàm số $y=f^{\prime }\left(x\right)$ liên tục và có đồ thị trên $\mathbb{R}$ như hình bên. Hàm số $y=f\left(x\right)$ có bao nhiêu điểm cực tiểu?

A. 4                               B. 5

C. 3                               D. 2

Câu 8(NB): Cho $a,b$ là hai số dương thỏa mãn $a\ne 1$ và ${\log }_{a}b=3$. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. $b=3a$                           B. $a=3b$                           C. $b=a^3$                      D. $a=b^3$

Câu 9(NB): Nghiệm của phương trình $2^x=3$ là

A. $x=\sqrt[3]{2}$             B. $x={\log }_{2}3$               C. $x=\sqrt{3}$                   D. $x={\log }_{3}2$

Câu 10(VD): Một người dự định làm một cái thùng hình trụ bằng tôn có nắp đậy và có thể tích $V$ cho trước. Hỏi người đó phải làm cái thùng có tỉ lệ giữa chiều cao và bán kính đáy bằng bao nhiêu để tốn ít tôn nhất ?

A. 2                                        B. ${\displaystyle \frac{1}{2}}$                 C. $1$                                    D. 4

Câu 11(TH): Giá trị cực tiểu của hàm số $y=-x^3+2x^2+7x$ là

A. $y_{CT}={\displaystyle \frac{7}{3}}$                                            B. $y_{CT}=8$                C. $y_{CT}=-4$                                                D. $y_{CT}=-1$

Câu 12(NB): Chiều cao $h$ của khối chóp có diện tích đáy $B$ và thể tích $V$ được tính theo công thức nào dưới đây?

A. $h={\displaystyle \frac{B}{3V}}$    B. $h={\displaystyle \frac{3B}{V}}$    C. $h={\displaystyle \frac{3V}{B}}$    D. $h={\displaystyle \frac{V}{3B}}$

Câu 13(TH): Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y={\displaystyle \frac{2x-1}{x+2}}$ trên đoạn $\left[-4;-3\right]$ là

A. ${\displaystyle \frac{9}{2}}$                 B. ${\displaystyle \frac{3}{2}}$                 C. $9$                                    D. $7$

Câu 14(NB): Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ có chiều cao $h=3cm$ và diện tích đáy $B=10c{m}^2$

A.  $V=15c{m}^3$         B. $V=10c{m}^3$           C. $V=30c{m}^3$          D. $V=60c{m}^3$

Câu 15(NB): Đa diện ở hình bên có bao nhiêu đỉnh?

A. 7                                        B. 4

C. 6                                        D. 3

Câu 16(TH): Cho khối chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$, $BC=a\sqrt{2}$. Hình chiếu vuông góc $H$ của $S$ lên mặt phẳng đáy là trung điểm của đoạn thẳng $BC$ và $SA={\displaystyle \frac{\sqrt{3}a}{2}}$(tham khảo hình bên). Tính thể tích $V$ của khối chóp đã cho.

A. $V={\displaystyle \frac{a^3\sqrt{3}}{4}}$                                  B. $V={\displaystyle \frac{a^3\sqrt{3}}{12}}$

C. $V={\displaystyle \frac{a^3}{4}}$                                              D. $V={\displaystyle \frac{a^3}{12}}$

Câu 17(NB): Tập xác định của hàm số $y=\log \left(2-x\right)$ là

A. $\left(-\mathrm{\infty };2\right)$         B. $\left(8;+\mathrm{\infty }\right)$         C. $\left(2;+\mathrm{\infty }\right)$             D. $\left(-\mathrm{\infty };8\right)$

Câu 18(TH): Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A,AB=2a,AC=a\sqrt{2}$ và $A{C}^{\prime }=a\sqrt{3}$ (tham khảo hình bên).

A. $V={\displaystyle \frac{2a^3\sqrt{6}}{3}}$                                B. $V=a^3\sqrt{2}$

C. $V={\displaystyle \frac{a^3\sqrt{2}}{3}}$                                  D. $V=2a^3\sqrt{6}$

Câu 19(VD): Cho khối chóp $S.ABC$ có cạnh ba cạnh $AS,AB,AC$ đôi một vuông góc với nhau và $AS=a,AB=2a,AC=3a$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SB$ và $SC$ (tham khảo hình bên). Tính thể tích $V$ của khối chóp $S.AMN$

A. $V={\displaystyle \frac{a^3}{4}}$                                              B. $V={\displaystyle \frac{3a^3}{2}}$

C. $V={\displaystyle \frac{3a^3}{4}}$                                            D. $V={\displaystyle \frac{a^3}{2}}$

Câu 20(VD): Một người gửi 500 triệu đồng vào một ngân hàng theo kì hạn 1 năm với lãi suất $8,6\mathrm{\%}/$năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó nhận được số tiền nhiều hơn ba lần số tiền ban đầu? Giả định trong suốt thời gian gửi, lãi suất không đổi và người đó không rút tiền ra.

A. $12$ năm   B. 15 năm        C. 13 năm       D. 14 năm

Câu 21(TH): Cho hai số thực dương $x$ và $y$ thỏa mãn ${\log }_{3}x+{\log }_{3}y=-1$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. $xy=3$                           B. $xy=2$                            C. $xy={\displaystyle \frac{1}{3}}$         D. $xy=-3$

Câu 22(NB): Diện tích xung quanh $S_{xq}$ của một hình nón có bán kính đáy $R$ và độ dài đường sinh $l$ được xác định bởi công thức nào dưới đây?

A. $S_{xq}=2\pi Rl$       B. $S_{xq}=2\pi R^{2}l$                                               C. $S_{xq}=\pi R^{2}l$                                 D. $S=\pi Rl$

Câu 23(TH): Cho tứ diện đều $ABCD$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $DC,DA,DB$ (tham khảo hình bên). Mặt phẳng nào dưới đây là một mặt phẳng đối xứng của tứ diện đã cho?

A. $\left(ABM\right)$    B. $\left(BMN\right)$

C. $\left(AMP\right)$    D. $\left(MNP\right)$

Câu 24(VD): Số nghiệm của phương trình ${2.4}^{x^2+2x}+{3.2}^{x^2+2x}-5=0$ là

A.1                                         B. 4                                         C. 3                                        D. 2

Câu 25(TH): Giá trị lớn nhất của hàm số $y=x^3-3x+1$ trên đoạn $\left[0;2\right]$ là

A. 1                                        B. 3                                         C. 9                                        D. $-3$

Câu 26(NB): Cho hình trụ có chiều cao $h=a$ và bán kính đáy $r=2a$. Tính diện tích toàn phần của hình trụ.

A. $4\pi a^2$                     B. $12\pi a^2$                   C. $20\pi a^2$                   D. $8\pi a^2$

Câu 27(TH): Cho hàm số $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ (với $a,b,c,d\in \mathbb{R}$) có đồ thị như hình bên. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. $a>0,b>0,c=0,d>0$

B. $a>0,b>0,c=0,d<0$

C. $a>0,b=0,c<0,d>0$

D. $a>0,b=0,c<0,d<0$

Câu 28(VD): Cho hàm số $y={\displaystyle \frac{mx-1}{2x+1}}$ (với $m$ là tham số) thỏa mãn điều kiện $\underset{\left[1;2\right]}{max}y=3$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. $7<m<10$                    B. $4<m<7$                      C. $0<m<3$                      D. $10<m<13$

Câu 29(TH): Hàm số $y=e^{x^2+1}$ có đạo hàm là

A. $y^{\prime }=\left(x^2+1\right)e^{x^2}$                  B. $y=2x.e^{x^2+1}$   C. $y=e^{x^2+1}$                                        D. $y=2^{x^2+1}\ln \left(x^2+1\right)$

Câu 30(TH): Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y={\displaystyle \frac{m^{2}x-4}{4x-1}}$ đồng biến trên mỗi khoảng xác định?

A. $8$            B. 6     C. 7     D. 9

Câu 31(TH): Cho số dương $x$ khác 1. Biểu thức $\sqrt{x^3}:\sqrt[3]{x^2}$ được viết dưới dạng lũy thừa của $x$ với số mũ hữu tỉ là

A. $x^{{\displaystyle \frac{9}{4}}}$      B. $x^{{\displaystyle \frac{7}{3}}}$       C. $x^{{\displaystyle \frac{5}{6}}}$      D. $x^{{\displaystyle \frac{6}{5}}}$

Câu 32(VD): Cho hàm số $y={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-\left(m+1\right)x^2-\left(3m^2+2m\right)x+1$ (với $m$ là tham số). Gọi $\left[a;b\right]$ là tập hợp tất cả các giá trị của $m$ để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left(4;+\mathrm{\infty }\right)$. Tính giá trị của biểu thức $T=a+3b$

A. $T=-3$ B. $T=3$      C. $T=2$     D. $T=-2$

Câu 33(NB): Cho hàm số $y=a{x}^4+b{x}^2+c$ (với $a,b,c\in \mathbb{R}$) có đồ thị như hình bên. Số điểm cực đại của đồ thị hàm số là:

A. 3                                        B. 0                                        

C. 2     D. 1

Câu 34(VD): Cho hàm số $y={\displaystyle \frac{x-1}{x+1}}$ có đồ thị là $\left(C\right)$. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $d:y=mx+m+1$ cắt $\left(C\right)$ tại 2 điểm $A,B$ sao cho độ dài đoạn thẳng $AB$ bằng $2\sqrt{5}$. Tích các phần tử của $S$ là

A. $2$                                    B. 1                                         C. $-2$                                D. $-1$

Câu 35(NB): Giá trị của $3^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}.\sqrt{3}$ bằng

A. ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{9}}$    B. ${\displaystyle \frac{7\sqrt{3}}{2}}$ C. 3                                        D. ${\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}$

Câu 36(VD): Gọi $m_0$ là giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=x^4+2m{x}^2+2$ có ba điểm cực trị $A,B,C$ tạo thành một tam giác sao cho trục $Ox$ chia tam giác đó thành $2$ phần có diện tích lần lượt bằng $S_1,S_2$ và ${\displaystyle \frac{S_1}{S_2}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$, trong đó $S_2$ là diện tích của phần nằm dưới $Ox$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. $m_0\in \left(-3;1\right)$                                   B. $m_0\in \left(-6;-3\right)$           C. $m_0\in \left(1;4\right)$                                           D. $m_0\in \left(-9;-6\right)$

Câu 37(NB): Trong không gian, cho hình chữ nhật $ABCD$. Khi quay hình chữ nhật đó xung quanh đường thẳng chứa cạnh $AB$ thì đường gấp khúc $ADCB$ tạo thành một hình nào dưới đây?

A. Hình hộp chữ nhật             B. Hình nón                            C. Hình lăng trụ đứng            D. Hình trụ

Câu 38(TH): Trong không gian, cho mặt cầu $\left(S\right)$ và mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn $\left(C\right)$. Biết rằng $\left(S\right)$ có tâm $O$, bán kính $R=4a,$ khoảng cách từ $O$ đến $\left(\alpha \right)$ bằng $2a$. Tính bán kính $r$ của $\left(C\right)$.

A. $r=\sqrt{2}a$      B. $r=2\sqrt{3}a$    C. $r=\sqrt{3}a$      D. $r=2\sqrt{2}a$

Câu 39(VD): Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $2a$, mặt bên hợp với mặt đáy một góc bằng ${45}^{\circ }$ (tham khảo hình bên). Tính thể tích $V$ của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.

A. $V={\displaystyle \frac{125\pi a^3}{27}}$                              B. $V={\displaystyle \frac{25\sqrt{3}\pi a^3}{3}}$

 C. $V={\displaystyle \frac{25\sqrt{2}\pi a^3}{3}}$ D. $V={\displaystyle \frac{125\sqrt{3}\pi a^3}{54}}$

Câu 40(NB): Tập xác định của hàm số $y={\left(x^2+x\right)}^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}$ là

A. $\mathbb{R}$                 B. $\left(-\mathrm{\infty };-1\right]\cup \left[0;+\mathrm{\infty }\right)$

C. $\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{-1;0\right\}$          D. $\left(-\mathrm{\infty };-1\right)\cup \left(0;+\mathrm{\infty }\right)$

B. PHẦN RIÊNG: Thí sinh thuộc hệ nào thì chỉ làm phần tương ứng dưới đây

I. PHẦN DÀNH CHO HỆ GDPT (10 câu từ câu 41 đến câu 50)

Câu 41(VD): Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình ${\log }_2^2\left(2x\right)-{\log }_2{x}^2-m-1=0$ có nghiệm thuộc đoạn $\left[{\displaystyle \frac{1}{2}};16\right]$?

A. $10$                                  B. 9                                         C. 11                                      D. 12

Câu 42(NB): Khối đa diện đều loại $\left\{4;3\right\}$ có bao nhiêu mặt?

A. 8                                        B. 4                                         C. 12                                      D. 6

Câu 43(TH): Biết hàm số $y=x^2-4x+2$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=x_0$. Giá trị  của ${\log }_2{x}_0$ bằng

A. 0                                        B. 1                                         C. 2                                        D. 4

Câu 44(TH): Một hình nón tròn xoay có bán kính đáy $r=a$ và góc ở đỉnh bằng ${60}^{\circ }$. Cắt hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó. Tính diện tích $S$ của thiết diện thu được

A. $S=a^2$                      B. $S=2a^2$                    C. $S={\displaystyle \frac{a^2\sqrt{3}}{4}}$ D. $S=a^2\sqrt{3}$

Câu 45(TH): Tính đạo hàm của hàm số $y=f\left(x\right)={\log }_{3}x$ tại điểm $x_0={\displaystyle \frac{1}{3}}$

A. $f^{\prime }\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)=-1$      B. $f^{\prime }\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)={\displaystyle \frac{3}{\ln 3}}$      C. $f^{\prime }\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)={\displaystyle \frac{\ln 3}{3}}$           D. $f^{\prime }\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)=3$

Câu 46(VD): Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=2a,BC=a$. Mặt bên $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (tham khảo hình bên). Thính thể tích $V$ của khối chóp đã cho.

A. $V={\displaystyle \frac{2a^3\sqrt{3}}{3}}$                                B. $V={\displaystyle \frac{a^3\sqrt{3}}{3}}$

C. $V=a^3\sqrt{3}$         D. $V=2a^3\sqrt{3}$

Câu 47(NB): Cho hàm số $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ (với $a,b,c,d\in \mathbb{R}$) có đồ thị như hình bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $\left(-\mathrm{\infty };-1\right)$                                         B. $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$

 C. $\left(-2;4\right)$     D. $\left(-1;1\right)$

Câu 48(TH): Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm $f^{\prime }\left(x\right)=-x^2+2x+3,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$. Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?

A. $2$                                    B. 1                                         C. 3                                        D. 0

Câu 49(TH): Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có bảng biến thiên như hình bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $3f\left(x\right)-m=0$ có ba nghiệm  phân biệt ?

A. 12                                      B. 13

C. 10                                      D. 11

Câu 50(NB): Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có bảng biến thiên như hình bên. Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là

A. 3                                        B. 0

            C. 2     D. 1

II. PHẦN DÀNH CHO HỆ GDTX (10 câu, từ câu 51 đến câu 60)

Câu 51(VD): Có bao nhiêu giá trị nguyên dương nhỏ hơn 15 của tham số $m$ để phương trình $9^{x^2}-m{.3}^{x^2}+2m+3=0$ có  bốn nghiệm phân biệt?

A. 5                                        B. 3                                         C. 2                                        D. 4

Câu 52(VD): Cho khối chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh bằng $a,$ cạnh $SA={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}}$, hai mặt bên $\left(SAB\right)$ và $\left(SAC\right)$ cùng vuông góc với mặt phẳng $\left(ABC\right)$(tham khảo hình bên). Tính thể tích $V$ của khối chóp đã cho.

A. $V={\displaystyle \frac{a^3\sqrt{3}}{12}}$                             B. $V={\displaystyle \frac{a^3}{8}}$

C. $V={\displaystyle \frac{3a^3}{8}}$                                            D. $V={\displaystyle \frac{a^3\sqrt{3}}{4}}$

Câu 53(NB): Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có bảng biến thiên như hình bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $\left(-\mathrm{\infty };-1\right)$                                         B. $\left(1;2\right)$

            C. $\left(-1;0\right)$      D. $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$

Câu 54(TH): Tính đạo hàm của hàm số $y=f\left(x\right)=\ln x$ tại điểm $x_0=2$

A. $f^{\prime }\left(2\right)={\displaystyle \frac{1}{\ln 2}}$                          B. $f^{\prime }\left(2\right)=\ln 2$   C. $f^{\prime }\left(2\right)=2$                                        D. $f^{\prime }\left(2\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}$

Câu 55(NB): Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có bảng  biến thiên như hình bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f\left(x\right)=m$ có bốn nghiệm phân biệt?

A. 3                                        B. 5

            C. 4     D. 2

Câu 56(VD): Một hình nón xoay có độ dài đường sinh $l=a$ và góc ở đỉnh bằng ${30}^{\circ }$. Cắt hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó. Tính diện tích $S$ của thiết diện thu được.

A. $S={\displaystyle \frac{a^2\sqrt{3}}{4}}$                                   B. $S={\displaystyle \frac{a^2}{2}}$ C. $S={\displaystyle \frac{a^2\sqrt{3}}{2}}$ D. $S={\displaystyle \frac{a^2}{4}}$

Câu 57(NB): Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có bảng biến thiên như hình bên. Số đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là

A. 1                                        B. 3

C. 0                                        D. 2

Câu 58(NB): Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm $f^{\prime }\left(x\right)=-x+3,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$. Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực tiểu? 

A. 2                                        B. 3                                         C. 0                                        D. 1

Câu 59(TH): Biết hàm số $y=-x^2+6x+5$ đạt giá tị lớn nhất tại $x=x_0$. Giá trị của $2^{x_0}$ bằng

A. 5                                        B. 8                                         C. 6                                        D. 9

Câu 60(NB): Khối đa diện đều loại $\left\{3;3\right\}$ có bao nhiêu mặt?

A. 6                                        B. 12                                       C. 4                                        D. 8

HẾT

ĐÁP ÁN

 

 

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Thực hiện: Ban chuyên môn [hoctot.me - Trợ lý học tập AI]

Câu 1:

Phương pháp:

Từ đồ thị đề cho:

   Tìm TXĐ của hàm số

    Xác định các đường tiệm cận, các giao điểm với trục hoành và trục tung của đồ thị hàm số.

Hướng dẫn giải:

Từ đồ thị hàm số đã cho ta thấy:

     TXĐ của hàm số:  $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{1\right\}$.

     Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là $x=1$ và đường tiệm cận ngang là $y=2$.

    Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $-1$ và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng $-{\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Suy ra hàm số có đồ thị đã cho là  $y={\displaystyle \frac{2x+1}{x-1}}$

Đáp án  B

Câu 2:

Phương pháp:

Đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ nhận đường thẳng $x=a$ là tiệm cận đứng khi xảy ra một trong các giới hạn $\underset{x\to a^{\pm }}{lim}f\left(x\right)=\pm \mathrm{\infty }$.  

Đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ nhận đường thẳng $y=b$ là tiệm cận ngang khi xảy ra một trong các giới hạn $\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=b$.  

Hướng dẫn giải:

Ta có:

     $\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{x^2+3x}{x^2-4}}=\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{1+{\displaystyle \frac{3}{x}}}{1-{\displaystyle \frac{4}{x^2}}}}=1$

 Suy ra đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận ngang là $y=1$

    $\underset{x\to -2^{+}}{lim}y=\underset{x\to -2^{+}}{lim}{\displaystyle \frac{x^2+3x}{x^2-4}}=-\mathrm{\infty };$ $\underset{x\to 2^{+}}{lim}y=\underset{x\to 2^{+}}{lim}{\displaystyle \frac{x^2+3x}{x^2-4}}=+\mathrm{\infty }$

 Do đó đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng là $x=2$ và $x=-2$.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có tất cả 3 đường tiệm cận.

Đáp án A

Câu 3:

Phương pháp:

Tính đạo hàm của hàm số

Lập BBT để xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số đã cho.

Hướng dẫn giải:

TXĐ: $D=\mathbb{R}$

Ta có:

       $\begin{array}{l}y=x^3-x^2-x+2\\ \Rightarrow y^{\prime }=3x^2-2x-1=\left(3x+1\right)\left(x-1\right)\\ y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{c}x=-{\displaystyle \frac{1}{3}}\\ x=1\end{array}\end{array}$

BBT của hàm số đã cho như sau:

Từ BBT ta thấy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left(-{\displaystyle \frac{1}{3}};1\right)$ và đồng biến trên các khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)$ và $\left(1;+\mathrm{\infty }\right)$.

Đáp án  C

Câu 4:

Phương pháp:

Xác định các giới hạn $\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}y$ để xác định dấu của hệ số của $x^4$

Tìm điểm cắt của đồ thị hàm số với trục hoành, trục tung, các điểm cực đại, cực tiểu để xác định hàm số đã cho.

Hướng dẫn giải:

Hàm số đã cho là hàm bậc bốn trùng phương nên hàm số đã cho có dạng:   $y=a{x}^4+b{x}^2+c$

Ta có:

   $\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}y=-\mathrm{\infty }$ nên $a<0$

    Đồ thị hàm số đã cho cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 nên $c=3$

    Đồ thị hàm số có các điểm cực tiểu là $\left(-1;4\right)$ và $\left(1;4\right)$ mà $y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x^2=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}\end{array}$ nên $-{\displaystyle \frac{b}{2a}}=1$

  Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại các điểm $\left(-\sqrt{3};0\right)$ và $\left(\sqrt{3};0\right)$ nên $9a+3b+c=0$

Suy ra $a=-1;b=2,c=3$

Vậy hàm số có đồ thị đã cho là $y=-x^4+2x^2+3$.

Đáp án D

Chú ý:

Các em cũng có thể nhận xét số điểm cực trị và kết luận:

Từ đồ thị ta thấy đây là dạng đồ thị hàm bậc bốn trùng phương có $a<0$ nên loại A, B.

Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị nên phương trình $y^{\prime }=0$ có ba nghiệm phân biệt.

Đáp án D có $y^{\prime }=0\iff -4x^3+4x=0$ $\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x=\pm 1\end{array}$ nên thỏa mãn bài toán.

Câu 5:

Phương pháp:

Sử dụng các công thức sau:

       $\begin{array}{l}{\log }_{a}b=c\iff b=a^c\left(0<a\ne 1;b>0\right)\\ a^b={\displaystyle \frac{1}{a^{-b}}}\left(0<a\ne 1\right)\end{array}$

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}{\log }_{a}2=m\iff a^m=2\\ \Rightarrow a^{-m}={\displaystyle \frac{1}{a^m}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\}\Rightarrow a^m+a^{-m}=2+{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{5}{2}}$

Đáp án  B

Câu 6:

Phương pháp:

Giải phương trình logarit đơn giản ${\log }_{a}f\left(x\right)=b\iff f\left(x\right)=a^b\left(0<a\ne 1;f\left(x\right)>0\right)$

Hướng dẫn giải:

TXĐ:    $D=\left(-\mathrm{\infty };0\right)\cup \left(3;+\mathrm{\infty }\right)$

Ta có:

             $\begin{array}{l}\ln \left(x^2-3x\right)=0\\ \iff x^2-3x=e^0\\ \iff x^2-3x-1=0\left(1\right)\end{array}$

Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn TXĐ nên tổng các nghiệm của phương trình (1) bằng 3 hay tổng các nghiệm của phương trình đã cho bằng 3.

Đáp án  B

Câu 7:

Phương pháp:

$x=a$ là cực tiểu của hàm số $y=f\left(x\right)$  khi $a\in D$ và $f^{\prime }\left(x\right)$ đổi dấu từ âm $(-)$ sang dương $(+)$ khi đi qua điểm $x=a$.

Hướng dẫn giải:

$x=a$ là cực tiểu của hàm số $y=f\left(x\right)$  khi $a\in D$ và $f^{\prime }\left(x\right)$ đổi dấu từ âm $(-)$ sang dương $(+)$ khi đi qua điểm $x=a$.

Từ đồ thị hàm số $y=f^{\prime }\left(x\right)$ ta thấy có 3 điểm thuộc đồ thị hàm số và tại đó, $f^{\prime }\left(x\right)$ đổi dấu từ âm $(-)$ sang dương $(+)$. Do đó hàm số $y=f\left(x\right)$ có 3 điểm cực tiểu.

Đáp án  C

Câu 8:

Phương pháp:

Biến đổi hàm logarit đơn giản    ${\log }_{a}b=c\iff b=a^c\left(0<a\ne 1;b>0\right)$

Hướng dẫn giải:

Ta có:      ${\log }_{a}b=3\iff b=a^3\left(0<a\ne 1,b>0\right)$

Đáp án  C

Câu 9:

Phương pháp:

Giải phương trình hàm mũ đơn giản   $a^b=c\iff b={\log }_{a}c\left(0<a\ne 1,c>0\right)$

Hướng dẫn giải:

TXĐ:    $D=\mathbb{R}$

Ta có:      $2^x=3\iff x={\log }_{2}3\left(t/m\right)$

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là   $x={\log }_{2}3$

Đáp án  B

Câu 10:

Phương pháp:

Hình trụ có bán kính đáy là $r$ và chiều cao bằng $h$ thì có:

      Thể tích là     $V=\pi r^{2}h$

       Diện tích toàn phần là       $S_{tp}=2\pi r^2+2\pi rh$

Áp dụng BĐT AM – GM để giải bài toán.

Hướng dẫn giải:

Gọi $h$ là chiều cao, $r$ là bán kính đáy của hình trụ đã cho.

Thể tích của hình trụ đã cho là       $V=\pi r^{2}h$

Để làm cái thùng tốn hết ít tôn nhất thì diện tích toàn phần của cái thùng phải nhỏ nhất

Diện tích toàn phần của cái thùng có nắp là:                  $S_{tp}=2\pi r^2+2\pi rh$

Áp dụng BĐT AM – GM ta có:

      $S_{tp}=2\pi r^2+2\pi rh=\pi \left(2r^2+rh+rh\right)$ $\ge \pi .3\sqrt[3]{2r^2.rh.rh}=3\pi \sqrt[3]{2V^2}$

Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi $2r^2=rh\iff h=2r$

Do đó, để làm cái thùng hết ít tôn nhất thì tỉ lệ giữa chiều cao và bán kính đáy của hình trụ bằng 2.

Đáp án  A

Câu 11:

Phương pháp:

Tính đạo hàm của hàm số

Lập BBT của hàm số để tìm giá trị cực tiểu của hàm số đã cho.

Hướng dẫn giải:

TXĐ:  $D=\mathbb{R}$

Ta có:

             $\begin{array}{l}y=-x^3+2x^2+7x\\ \Rightarrow y^{\prime }=-3x^2+4x+7=\left(7-3x\right)\left(x+1\right)\\ y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{c}x={\displaystyle \frac{7}{3}}\\ x=-1\end{array}\end{array}$

BBT của hàm số đã cho như sau:

Từ BBT ta thấy giá trị cực tiểu của hàm số là   $y_{CT}=-4$, đạt tại $x_{CT}=-1$.

Đáp án  C

Câu 12:

Phương pháp:

Thể tích của hình chóp có chiều cao bằng $h$ và diện tích đáy bằng $S$ là     $V={\displaystyle \frac{1}{3}}Sh$

Hướng dẫn giải:

Thể tích của hình chóp có chiều cao bằng $h$ và diện tích đáy bằng $S$ là     $V={\displaystyle \frac{1}{3}}Sh$

Do đó, chiều cao $h$ của khối chóp trên được tính bởi công thức:        $h={\displaystyle \frac{3V}{S}}$

Đáp án  C

Câu 13:

Phương pháp:

Tính đạo hàm để xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số đã cho trên đoạn $\left[-4;-3\right]$ và tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn đó.

Hướng dẫn giải:

TXĐ:   $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{-2\right\}$ nên hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn $\left[-4;-3\right]$.

Ta có:

         $\begin{array}{l}y={\displaystyle \frac{2x-1}{x+2}}\\ \Rightarrow y^{\prime }={\displaystyle \frac{2\left(x+2\right)-\left(2x-1\right)}{{\left(x+2\right)}^2}}={\displaystyle \frac{5}{{\left(x+2\right)}^2}}>0,\mathrm{\forall }x\in D\end{array}$

Do đó, hàm số đã cho luôn đồng biến trên các khoảng xác định. Hay hàm số đã cho đồng biến trên đoạn $\left[-4;-3\right]$

Suy ra   $\underset{\left[-4;-3\right]}{min}y=f\left(-4\right)={\displaystyle \frac{9}{2}}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\left[-4;-3\right]$ bằng  ${\displaystyle \frac{9}{2}}$.

Đáp án  A

Câu 14:

Phương pháp:

Thể tích của khối lăng trụ có chiều cao bằng $h$ và diện tích đáy bằng $S$ là    $V=Sh$

Hướng dẫn giải:

Thể tích của khối lăng trụ có chiều cao $h=3cm$ và diện tích đáy $B=10c{m}^2$ là     

                                                   $V=Bh=10.3=30\left(c{m}^3\right)$

Đáp án  C

Câu 15:

Phương pháp:

Đếm số đỉnh trong hình.

Hướng dẫn giải:

Từ hình vẽ đã cho ta thấy: hình đa diện đã cho có 6 đỉnh.

Đáp án  C

Câu 16:

Phương pháp:

Tính độ dài chiều cao $SH$và diện tích đáy của khối chóp.

Thể tích của khối chóp có chiều cao bằng $h$ và diện tích đáy bằng $S$ là             $V={\displaystyle \frac{1}{3}}Sh$

Hướng dẫn giải:

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ nên $\{\begin{array}{l}AH\mathrm{\perp }BC\\ AH={\displaystyle \frac{1}{2}}BC={\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}}\end{array}$

$SH\mathrm{\perp }\left(ABC\right)\Rightarrow SH\mathrm{\perp }AH$

Tam giác $SHA$ vuông tại $H$ nên

             $SH=\sqrt{S{A}^2-A{H}^2}=\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}}\right)}^2-{\left({\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}}\right)}^2}={\displaystyle \frac{a}{2}}$

$AH\mathrm{\perp }BC\Rightarrow S_{\mathrm{\Delta }ABC}={\displaystyle \frac{1}{2}}AH.BC={\displaystyle \frac{1}{2}}.{\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}}.a\sqrt{2}={\displaystyle \frac{a^2}{2}}$

Thể tích của khối chóp đã cho là :

               $V={\displaystyle \frac{1}{3}}SH.S_{\mathrm{\Delta }ABC}={\displaystyle \frac{1}{3}}.{\displaystyle \frac{a}{2}}.{\displaystyle \frac{a^2}{2}}={\displaystyle \frac{a^3}{12}}$

Đáp án  D

Câu 17:

Phương pháp:

Hàm số $y={\log }_{a}f\left(x\right)\left(0<a\ne 1\right)$ xác định khi và chỉ khi $f\left(x\right)>0$.

Hướng dẫn giải:

Hàm số $y=\log \left(2-x\right)$ xác định khi và chỉ khi $2-x>0\iff x<2$

Vậy TXĐ của hàm số đã cho là    $D=\left(-\mathrm{\infty };2\right)$

Đáp án  A

Câu 18:

Phương pháp:

Tính chiều cao $C^{\prime }C$ của khối lăng trụ đứng.

Thể tích của khối lăng trụ có chiều cao bằng $h$ và diện tích đáy bằng $S$ là    $V=Sh$

Hướng dẫn giải:

$ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là lăng trụ đứng nên $C^{\prime }C\mathrm{\perp }\left(ABC\right)$ hay $C^{\prime }C\mathrm{\perp }AC$

Tam giác $A{C}^{\prime }C$ vuông tại $C$ nên

                  $C^{\prime }C=\sqrt{AC{}^{\prime 2}-A{C}^2}=\sqrt{{\left(a\sqrt{3}\right)}^2-{\left(a\sqrt{2}\right)}^2}=a$

Tam giác  $ABC$ vuông tại $A$ nên

                            $S_{\mathrm{\Delta }ABC}={\displaystyle \frac{1}{2}}AC.AB={\displaystyle \frac{1}{2}}.a\sqrt{2}.2a=\sqrt{2}{a}^2$

Thể tích của khối lăng trụ đã cho là

                                   $V=C{C}^{\prime }.S_{\mathrm{\Delta }ABC}=a.\sqrt{2}{a}^2=\sqrt{2}{a}^3$. 

Đáp án  B

Câu 19:

Phương pháp:

Tính thể tích của khối chóp $S.ABC$.

Sử dụng bài toán:  Cho tứ diện $S.ABC$. Các điểm $M,N,P$ lần lượt nằm trên các cạnh $SA,SB,SC$ sao cho ${\displaystyle \frac{SM}{SA}}=x,{\displaystyle \frac{SN}{SB}}=y,{\displaystyle \frac{SP}{SC}}=z$ thì    ${\displaystyle \frac{V_{S.MNP}}{V_{S.ABC}}}={\displaystyle \frac{SM}{SA}}.{\displaystyle \frac{SN}{SB}}.{\displaystyle \frac{SP}{SC}}=xyz$

Tính tỉ số ${\displaystyle \frac{V_{S.AMN}}{V_{S.ABC}}}$ đế suy ra thể tích của khối chóp $S.AMN$

Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết, $AS,AB,AC$ đôi một vuông góc nên ta có:

$AB\mathrm{\perp }AC\Rightarrow S_{\mathrm{\Delta }ABC}={\displaystyle \frac{1}{2}}AB.AC={\displaystyle \frac{1}{2}}.2a.3a=3a^2$

$\{\begin{array}{l}SA\mathrm{\perp }AB\\ SA\mathrm{\perp }AC\end{array}\Rightarrow SA\mathrm{\perp }\left(ABC\right)$

Do đó,  thể tích của khối chóp $S.ABC$ là:

               $V_{S.ABC}={\displaystyle \frac{1}{3}}SA.S_{\mathrm{\Delta }ABC}={\displaystyle \frac{1}{3}}.a.3a^2=a^3$

$M,N$ lần lượt là trung điểm của $SB,SC$ nên:

    ${\displaystyle \frac{V_{S.AMN}}{V_{S.ABC}}}={\displaystyle \frac{SA}{SA}}.{\displaystyle \frac{SM}{SB}}.{\displaystyle \frac{SN}{SC}}=1.{\displaystyle \frac{1}{2}}.{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$

Suy ra thể tích của khối chóp  $S.AMN$ là:                         $V_{S.AMN}={\displaystyle \frac{1}{4}}{V}_{S.ABC}={\displaystyle \frac{a^3}{4}}$

Đáp án  A

Câu 20:

Phương pháp:

Với số tiền gửi ban đầu là $A$, với thể thức lãi kép và lãi suất là $x\mathrm{\%}$/ 1 năm thì sau $n$ năm, số tiền cả gốc và lãi thu được là:

                                 $A_n=A.{\left(1+x\mathrm{\%}\right)}^n$ 

Hướng dẫn giải:

Với số tiền gửi ban đầu là $A$, với thể thức lãi kép và lãi suất là $x\mathrm{\%}$/ 1 năm, ta có:

Sau 1 năm, số tiền cả gốc và lãi nhận được  là :

                                 $A_1=A+A.x=A\left(1+x\right)$

Sau 2 năm, số tiền cả gốc và lãi nhận được là :

                                   $A_2=A_1+A_1.x=A_1\left(1+x\right)=A{\left(1+x\right)}^2$

……..

Sau $n$ năm, số tiền cả gốc và lãi nhận được là $A_n=A{\left(1+x\right)}^n$

Thay $A=500$ triệu  đồng,  $x=8,6\mathrm{\%}/$năm và theo giả thiết số tiền nhận được sau $n$ năm nhiều hơn 3 lần số tiền ban đầu ta có:

                                            $\begin{array}{l}{A}_n>3A\\ \iff A.{\left(1+8,6\mathrm{\%}\right)}^n>3A\\ \iff {\left(1+8,6\mathrm{\%}\right)}^n>3\\ \iff n>{\log }_{\left(1+8,6\mathrm{\%}\right)}3\\ \Rightarrow n>13,31\end{array}$

Do đó, sau ít nhất 14 năm thì số tiền nhận được nhiều hơn 3 lần số tiền gửi ban đầu.

Đáp án  D

Câu 21:

Phương pháp:

Sử dụng công thức về hàm logarit:

                       $\begin{array}{l}{\log }_{a}b+{\log }_{a}c={\log }_a\left(bc\right)\left(0<a\ne 1;b,c>0\right)\\ {\log }_{a}b=c\iff b=a^c\left(0<a\ne 1,b>0\right)\end{array}$

Hướng dẫn giải:

Với $x,y$ là các số dương ta có:

                                  $\begin{array}{l}{\log }_{3}x+{\log }_{3}y=-1\\ \iff {\log }_{3}xy=-1\\ \iff xy=3^{-1}\\ \iff xy={\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}$

Đáp án  C

Câu 22:

Phương pháp:

Diện tích xung quanh của hình nón có bán kính đáy $R$ và độ dài đường sinh bằng $l$ là:       $S_{xq}=\pi Rl$

Hướng dẫn giải:

Diện tích xung quanh $S_{xq}$  của hình nón có bán kính đáy $R$ và độ dài đường sinh bằng $l$ được tính bởi công thức: $S_{xq}=\pi Rl$

Đáp án  D

Câu 23:

Phương pháp:

Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ được gọi là mặt phẳng đối xứng của tứ diện nếu lấy đối xứng tất cả các điểm của tứ diện qua mặt phẳng  $\left(\alpha \right)$ ta vẫn được tứ diện ban đầu.

Hướng dẫn giải:

Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ được gọi là mặt phẳng đối xứng của

tứ diện nếu lấy đối xứng tất cả các điểm của tứ diện

qua mặt phẳng  $\left(\alpha \right)$ ta vẫn được tứ diện ban đầu.

Hình tứ diện đều có các mặt phẳng đối xứng là các

mặt phẳng đi qua 1 đỉnh của tứ diện và một trung tuyến của tam giác đối diên.

Hình tứ diện đều $ABCD$ có các mặt phẳng đối xứng là : $\left(ABM\right),\left(ACP\right),\left(BCN\right)$

Đáp án  A

Câu 24:

Phương pháp:

Đặt ẩn phụ, đưa phương trình đã cho về phương trình bậc 2 để giải.

Hướng dẫn giải:

TXĐ:    $D=\mathbb{R}$

Ta có:

$\begin{array}{l}{2.4}^{x^2+2x}+{3.2}^{x^2+2x}-5=0\\ \iff 2.{\left(2^{x^2+2x}\right)}^2+{3.2}^{x^2+2x}-5=0\left(1\right)\end{array}$

Đặt $t=2^{x^2+2x}\left(t>0\right)$ thì phương trình (1) trở thành:

                                                       $\begin{array}{l}2t^2+3t-5=0\\ \iff \left(2t+5\right)\left(t-1\right)=0\\ \iff [\begin{array}{c}t=-{\displaystyle \frac{5}{2}}\left(L\right)\\ t=1\left(t/m\right)\end{array}\end{array}$

Với $t=1$ ta có:

$\begin{array}{l}{2}^{x^2+2x}=1\\ \iff x^2+2x={\log }_{2}1\\ \iff x^2+2x=0\\ \iff [\begin{array}{c}x=0\\ x=-2\end{array}\end{array}$

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.

Đáp án  D

Câu 25:

Phương pháp:

Tìm các điểm cực trị của hàm số $y=f\left(x\right)$ trên đoạn $\left[0;2\right]$.

So sánh các giá trị cực trị trên đoạn $\left[0;2\right]$ với các giá trị $f\left(0\right);f\left(2\right)$ để tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất trên đoạn.

Hướng dẫn giải:

TXĐ:   $D=\mathbb{R}$

Ta có:

$\begin{array}{l}y=f\left(x\right)=x^3-3x+1\\ \Rightarrow f^{\prime }\left(x\right)=3x^2-3=3\left(x-1\right)\left(x+1\right)\\ f^{\prime }\left(x\right)=0\iff [\begin{array}{c}x=1\\ x=-1\end{array}\end{array}$

Xét hàm số đã cho trên đoạn  $\left[0;2\right]$ ta có:             

$f\left(0\right)=1;f\left(2\right)=3;f\left(CT\right)=f\left(1\right)=-1$

Do đó,     $\underset{\left[0;2\right]}{max}f\left(x\right)=f\left(2\right)=3$

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\left[0;2\right]$ bằng 3.

Đáp án  B

Câu 26:

Phương pháp:

Diện tích toàn phần của hình trụ có bán kính đáy bằng $r$  và chiều cao bằng $h$ là:

$S_{tp}=2\pi r^2+2\pi rh$

Hướng dẫn giải:

Diện tích toàn phần của hình trụ có bán kính đáy  $r=2a$  và chiều cao $h=a$ là:

$S_{tp}=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi .{\left(2a\right)}^2+2\pi .2a.a=12\pi a^2$

Đáp án  B

Câu 27:

Phương pháp:

Tìm giới hạn của hàm số khi $x\to \pm \mathrm{\infty }$ để xác định dấu của $x^3$

Tìm điểm cắt của đồ thị hàm số với trục tung để xác định dấu của $d$.

Tìm dấu của các điểm cực trị để suy ra dấu của $b,c$

Hướng dẫn giải:

Từ đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ ta có:

       $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=+\mathrm{\infty }\Rightarrow a>0$

       Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên $d<0$

       Hàm số có 2 điểm cực trị $x_1;x_2$ trong đó  $x_1<0=x_2$. Ta có:

                      $\begin{array}{l}f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d\\ \Rightarrow f^{\prime }\left(x\right)=3a{x}^2+2bx+c\end{array}$

         Hàm số có 2 điểm cực trị $x_1;x_2$ nên $x_1;x_2$ là 2  nghiệm phân biệt của phương trình $f^{\prime }\left(x\right)=0$. Do đó,

                     $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-{\displaystyle \frac{2b}{3a}}\\ x_1.x_2={\displaystyle \frac{c}{3a}}\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{-2b}{3a}}<0\\ {\displaystyle \frac{c}{3a}}=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a>0\\ b>0\\ c=0\end{array}$

Vậy $a>0,b>0,c=0,d<0$

Đáp án  B

Câu 28:

Phương pháp:

Tính đạo hàm của hàm số để xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên đoạn $\left[1;2\right]$ và giá trị lớn nhất trên đoạn $\left[1;2\right]$.

Thay giá trị lớn nhất bằng $3$ để tìm giá trị của $m$.

Hướng dẫn giải:

TXĐ:  $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right\}$. Do đó, hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn $\left[1;2\right]$

Ta có:$y={\displaystyle \frac{mx-1}{2x+1}}$

$\Rightarrow y^{\prime }={\displaystyle \frac{m\left(2x+1\right)-2\left(mx-1\right)}{{\left(2x+1\right)}^2}}$ $={\displaystyle \frac{2mx+m-2mx+2}{{\left(2x+1\right)}^2}}={\displaystyle \frac{m+2}{{\left(2x+1\right)}^2}}$

Nếu $m+2>0\iff m>-2$ thì $y^{\prime }>0,\mathrm{\forall }x\in D$ hay hàm số đã cho đồng biến trên đoạn $\left[1;2\right]$. Do đó,

$\underset{\left[1;2\right]}{max}f\left(x\right)=f\left(2\right)\iff f\left(2\right)=3\iff {\displaystyle \frac{2m-1}{2.2+1}}=3\iff m=8$ (thỏa mãn)

Nếu $m+2<0\iff m<-2$ thì $y^{\prime }<0,\mathrm{\forall }x\in D$ hay hàm số đã cho nghịch biến trên đoạn $\left[1;2\right]$. Do đó,

$\underset{\left[1;2\right]}{min}f\left(x\right)=f\left(1\right)\iff f\left(1\right)=3\iff {\displaystyle \frac{m-1}{2.1+1}}=3\iff m=10$ (Không thỏa mãn $m<-2$)

Vậy $m=8$ hay $7<m<10$

Đáp án  A

Câu 29:

Phương pháp:

Đạo hàm của hàm số $y=e^{f\left(x\right)}$ là   $y^{\prime }=f^{\prime }\left(x\right){.2}^{f\left(x\right)}$

Hướng dẫn giải:

Đạo hàm của hàm số $y=e^{x^2+1}$ là         $y^{\prime }={\left(x^2+1\right)}^{\prime }.e^{x^2+1}=2x.e^{x^2+1}$

Đáp án  B

Câu 30:

Phương pháp:

Hàm số $y=f\left(x\right)$đồng biến trên khoảng $\left(a;b\right)$ khi nó xác định và liên tục trên khoảng $\left(a;b\right)$ đồng thời $f^{\prime }\left(x\right)\ge 0,\mathrm{\forall }x\in \left(a;b\right)$. (Dấu ‘=’ chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm).

Hướng dẫn giải:

TXĐ:   $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{{\displaystyle \frac{1}{4}}\right\}$

Ta có:$y={\displaystyle \frac{m^{2}x-4}{4x-1}}$ $\Rightarrow y^{\prime }={\displaystyle \frac{m^2\left(4x-1\right)-4\left(m^{2}x-4\right)}{{\left(4x-1\right)}^2}}$ $={\displaystyle \frac{4m^{2}x-m^2-4m^{2}x+16}{{\left(4x-1\right)}^2}}={\displaystyle \frac{16-m^2}{{\left(4x-1\right)}^2}}$

Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi $y^{\prime }\ge 0,\mathrm{\forall }x\in D$  (Dấu ‘=’ chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm).

Do đó, hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi

${\displaystyle \frac{16-m^2}{{\left(4m-1\right)}^2}}\ge 0\iff 16-m^2\ge 0\iff -4\le m\le 4$

Dấu ‘=’ ở trên không thể xảy ra vì khi $m=\pm 4$ thì $y^{\prime }=0,\mathrm{\forall }x\in D$

Do đó, $-4<m<4$ thì hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định. Mà $m$ là số nguyên nên $m\in \left\{-3;-2;-1;0;1;2;3\right\}$

Vậy có 7 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.

Đáp án  C

Câu 31:

Phương pháp:

Sử dụng các công thức biến đổi sau:

                      $\begin{array}{l}\sqrt[n]{a^m}=a^{{\displaystyle \frac{m}{n}}}\\ a^b:a^c=a^{b-c}\end{array}$   $\left(0<a\ne 1,n\ne 0\right)$

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$\sqrt{x^3}:\sqrt[3]{x^2}=x^{{\displaystyle \frac{3}{2}}}:x^{{\displaystyle \frac{2}{3}}}=x^{{\displaystyle \frac{3}{2}}-{\displaystyle \frac{2}{3}}}=x^{{\displaystyle \frac{5}{6}}}$

Đáp án  C

Câu 32:

Phương pháp:

Hàm số $y=f\left(x\right)$đồng biến trên khoảng $\left(a;b\right)$ khi nó xác định và liên tục trên khoảng $\left(a;b\right)$ đồng thời $f^{\prime }\left(x\right)\ge 0,\mathrm{\forall }x\in \left(a;b\right)$. (Dấu ‘=’ chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm).

Hướng dẫn giải:

TXĐ:  $D=\mathbb{R}$. Hàm số đã cho xác định và liên tục trên khoảng $\left(4;+\mathrm{\infty }\right)$

Ta có:

$\begin{array}{l}y={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-\left(m+1\right)x^2-\left(3m^2+2m\right)x+1\\ \Rightarrow y^{\prime }=x^2-2\left(m+1\right)x-\left(3m^2+2m\right)\end{array}$

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left(4;+\mathrm{\infty }\right)$ khi và chỉ khi:

$\begin{array}{l}{y}^{\prime }\ge 0,\mathrm{\forall }x\in \left(4;+\mathrm{\infty }\right)\\ \iff x^2-2\left(m+1\right)x-\left(3m^2+2m\right)\ge 0,\mathrm{\forall }x\in \left(4;+\mathrm{\infty }\right)\\ \iff \left(x^2+mx\right)-\left[\left(3m+2\right)x+\left(3m^2+2m\right)\right]\ge 0,\mathrm{\forall }x\in \left(4;+\mathrm{\infty }\right)\\ \iff x\left(x+m\right)-\left(3m+2\right)\left(x+m\right)\ge 0,\mathrm{\forall }x\in \left(4;+\mathrm{\infty }\right)\\ \iff \left[x-\left(3m+2\right)\right]\left(x+m\right)\ge 0,\mathrm{\forall }x\in \left(4;+\mathrm{\infty }\right)\left(1\right)\end{array}$

Nếu $3m+2=-m\iff m=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ thì   $\left(1\right)$ luôn đúng.

Nếu $3m+2>-m\iff m>-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ thì   $\left(1\right)\iff [\begin{array}{l}x\ge 3m+2\\ x\le -m\end{array},\mathrm{\forall }x\in \left(4;+\mathrm{\infty }\right)\iff 3m+2\le 4\iff m\le {\displaystyle \frac{2}{3}}$

Nếu $3m+2<-m\iff m<-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ thì  $\left(1\right)\iff [\begin{array}{l}x\le 3m+2\\ x\ge -m\end{array},\mathrm{\forall }x\in \left(4;+\mathrm{\infty }\right)\iff 4\ge -m\iff m\ge -4$

Vậy $m\in \left[-4;{\displaystyle \frac{2}{3}}\right]$ thì hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left(4;+\mathrm{\infty }\right)$

Do đó,  $T=a+3b=-4+3.{\displaystyle \frac{2}{3}}=-2$

Đáp án  D

Câu 33:

Phương pháp:

Suy ra số điểm cực đại từ đồ thị hàm số.

Hướng dẫn giải:

Từ đồ thị hàm số đã cho ta thấy đồ thị hàm số đã cho có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu.

Đáp án  C

Câu 34:

Phương pháp:

Viết phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và đồ thị hàm số

Tìm điều kiện của $m$ để phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt.

Dùng định lí Vi – ét để giải bài toán.

Hướng dẫn giải:

TXĐ:   $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{-1\right\}$

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng $d$ và đồ thị hàm số $\left(C\right)$ là:

$\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{x-1}{x+1}}=mx+m+1\\ \iff \left(x-1\right)=\left(mx+m+1\right)\left(x+1\right)\\ \iff m{x}^2+mx+mx+m+x+1=x-1\\ \iff m{x}^2+2mx+m+2=0\left(1\right)\end{array}$

Đường thẳng $d$ cắt đồ thị hàm số $\left(C\right)$ tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác $-1$

Suy ra       $\{\begin{array}{l}{\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0\\ m.{\left(-1\right)}^2+2m.\left(-1\right)+m+2\ne 0\end{array}\iff {\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0\iff m^2-m\left(m+2\right)>0\iff m<0$

Với $m<0,$ phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn:  $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2={\displaystyle \frac{-2m}{m}}\\ x_1.x_2={\displaystyle \frac{m+2}{m}}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-2\\ x_1.x_2={\displaystyle \frac{m+2}{m}}\end{array}$

Suy ra, đường thẳng $d$ cắt đồ thị hàm số $\left(C\right)$ tại 2 điểm phân biệt $A\left(x_1;m{x}_1+m+1\right);B\left(x_2;m{x}_2+m+1\right)$

Ta có:

 $\begin{array}{l}AB=2\sqrt{5}\\ \iff \sqrt{{\left(x_1-x_2\right)}^2+{\left[\left(m{x}_1+m+1\right)-\left(m{x}_2+m+1\right)\right]}^2}=2\sqrt{5}\\ \iff \sqrt{{\left(x_1-x_2\right)}^2+m^2{\left(x_1-x_2\right)}^2}=2\sqrt{5}\end{array}$

$\begin{array}{l}\iff \left(m^2+1\right){\left(x_1-x_2\right)}^2=20\\ \iff \left(m^2+1\right)\left[{\left(x_1+x_2\right)}^2-4x_1{x}_2\right]=20\\ \iff \left(m^2+1\right)\left[{\left(-2\right)}^2-4.{\displaystyle \frac{m+2}{m}}\right]=20\\ \iff \left(m^2+1\right){\displaystyle \frac{-8}{m}}=20\end{array}$

$\begin{array}{l}\iff -8m^2-8=20m\\ \iff [\begin{array}{c}m=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ m=-2\end{array}\left(t/m\right)\end{array}$

Vậy tích các giá trị của $m$ thỏa mãn là      $S=\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right).\left(-2\right)=1$

Đáp án  B

Câu 35:

Phương pháp:

Sử dụng các công thức biến đổi sau:

$\begin{array}{l}\sqrt[n]{a^m}=a^{{\displaystyle \frac{m}{n}}}\\ a^b.a^c=a^{b+c}\end{array}$   $\left(0<a\ne 1,n\ne 0\right)$

Hướng dẫn giải:

Ta có: 

$3^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}.\sqrt{3}=3^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}{.3}^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}=3^{{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}}=3^1=3$

Đáp án  C

Câu 36:

Phương pháp:

Tìm các điểm cực đại cực tiểu của hàm số.

Từ tỉ số diện tích của 2 phần, tìm giá trị của $m$.

Hướng dẫn giải:

TXĐ:  $D=\mathbb{R}$

Ta có:

$\begin{array}{l}y=x^4+2m{x}^2+2\\ \Rightarrow y^{\prime }=4x^3+4mx=4x\left(x^2+m\right)\\ y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{c}x=0\\ x^2=-m\end{array}\end{array}$

Để hàm số đã cho có 3 điểm cực trị thì phương trình $x^2=-m$ có 2 nghiệm phân biệt khác 0. Suy ra $m<0$

Khi đó, 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là  $A\left(0;2\right);B\left(\sqrt{-m};-m^2+2\right);C\left(-\sqrt{-m};-m^2+2\right)$.

Phương trình đường thẳng $BC$ là   $y=-m^2+2$

Gọi giao$AB$ và $AC$ với trục $Ox$ lần lượt là $M,N$. Suy ra $S_1=S_{\mathrm{\Delta }AMN}$

Ta có:

             ${\displaystyle \frac{S_1}{S_2}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\iff {\displaystyle \frac{S_{AMN}}{S_{MNBC}}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{S_{AMN}}{S_{ABC}}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$

 Ta thấy $Ox//BC$ hay $MN//BC$. Gọi $H,K$ lần lượt là giao điểm của $Oy$ với  $BC$ và $MN$.

$A$ nằm trên $Ox$ mà $Ox//BC$ nên $AH\mathrm{\perp }BC,AK\mathrm{\perp }MN$

Suy ra     ${\displaystyle \frac{S_{AMN}}{S_{ABC}}}={\displaystyle \frac{1}{4}}\iff {\left({\displaystyle \frac{AK}{AH}}\right)}^2={\displaystyle \frac{1}{4}}\iff {\displaystyle \frac{AK}{AH}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

$A\left(0;2\right)$, $K$ là giao điểm của $Oy$ và $MN$ mà $MN\in Ox$ nên $K\left(0;0\right)$

Suy ra $AK=2$ $\Rightarrow AH=4$

$H$ là giao của $BC$ và $Ox$ nên $H\left(0;-m^2+2\right)$, $H$ nằm dưới trục hoành. Suy  ra

$-m^2+2=-2\iff m^2=4\iff m=\pm 2$

Mà $m<0$ nên $m=-2$

Vậy $m_0\in \left(-3;1\right)$

Đáp án  A

Câu 37:

Phương pháp:

Khi quay hình chữ nhật $MNPQ$ quanh đường thẳng chứa cạnh $MN$ ta được một hình trụ có chiều cao bằng độ dài cạnh $MN$ và bán kính đáy có độ dài bằng $MQ$.

Hướng dẫn giải:

Khi quay hình chữ nhật $ABCD$  quanh đường thẳng chứa cạnh $AB$ ta được một hình trụ có chiều cao bằng độ dài cạnh $AB$ và bán kính đáy có độ dài bằng $AD$.

Đáp án  D

Câu 38:

Phương pháp:

Bán kính của đường tròn $\left(C\right)$ được tính băng công thức $r=\sqrt{R^2-h^2}$ trong đó $h$ là khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng $\left(\alpha \right)$

Hướng dẫn giải:

Gọi $I$ là tâm của đường tròn $\left(C\right)$

Khoảng cách từ tâm $O$ của mặt cầu đến mặt phẳng $\left(\alpha \right)$

bằng độ dài đoạn $OI$ nên $OI=2a$

Suy ra bán kính của mặt cầu $\left(C\right)$ là

              $r=\sqrt{R^2-O{I}^2}=\sqrt{{\left(4a\right)}^2-{\left(2a\right)}^2}=2\sqrt{3}a$

Đáp án  B

Câu 39:

Phương pháp:

Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp đã cho.

Thể tích của mặt cầu có bán kính bằng $R$ là                 $V={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi R^3$

Hướng dẫn giải:

Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$, $M$ là trung điểm $BC$

Suy ra $A,G,M$ thẳng hàng và $AG={\displaystyle \frac{2}{3}}AM$

$S.ABC$ là hình chóp tam giác đều nên $G$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và $SG\mathrm{\perp }\left(ABC\right)$

Gọi $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $S.ABC$. Suy ra $I$ nằm trên $SG$

Ta có:

Tam giác $ABC$ là tam giác đều có cạnh bằng $2a$ nên $AM={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}AB=\sqrt{3}a\Rightarrow AG={\displaystyle \frac{2}{3}}AM={\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}}a$

     $\{\begin{array}{l}SG\mathrm{\perp }\left(ABC\right)\Rightarrow SG\mathrm{\perp }BC\\ AM\mathrm{\perp }BC\end{array}\Rightarrow BC\mathrm{\perp }\left(SAM\right)\Rightarrow BC\mathrm{\perp }SM$

Do đó, góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy là góc giữa $SM$ và $AM$ hay $\widehat{SMA}={45}^{\circ }$. Suy ra, 

 $SG=GM={\displaystyle \frac{1}{3}}AM={\displaystyle \frac{\sqrt{3}a}{3}}$

$I$  là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $S.ABC$ nên $R=IS=IA=IB=IC$

Ta có:

           $\begin{array}{l}SI=R\Rightarrow IG=SG-SI={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}a-R\\ A{G}^2+I{G}^2=A{I}^2\\ \iff {\left({\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}}a\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}a-R\right)}^2=R^2\\ \Rightarrow R={\displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{6}}a\end{array}$   

Vậy thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp là:

$V={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi R^3={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi .{\left({\displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{6}}\right)}^3={\displaystyle \frac{125\sqrt{3}\pi a^3}{54}}$

Đáp án  D

Câu 40:

Phương pháp:

Hàm số $y=f{\left(x\right)}^a$ có :

       +)Nếu $a$ là số nguyên dương thì hàm số xác định khi $f\left(x\right)$ xác định.

       +) Nếu $a$ là số nguyên âm thì hàm số xác định khi $f\left(x\right)\ne 0$

       +) Nếu $a$ không nguyên thì hàm số xác định khi $f\left(x\right)>0$

Hướng dẫn giải:

Hàm số $y={\left(x^2+x\right)}^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}$ xác định khi và chỉ khi $x^2+x>0\iff x\left(x+1\right)>0\iff [\begin{array}{l}x>0\\ x<-1\end{array}$

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là     $D=\left(-\mathrm{\infty };-1\right)\cup \left(0;+\mathrm{\infty }\right)$

Đáp án  D

Câu 41:

Phương pháp:

Đặt ẩn phụ, đưa phương trình đã cho về phương trình bậc 2

Tìm điều kiện của ẩn phụ. Giải bài toán với điều kiện đó.

Hướng dẫn giải:

TXĐ:   $D=\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$

Ta có:

$\begin{array}{l}{\log }_{{}_2}^2\left(2x\right)-2{\log }_2{x}^2-m-1=0\\ \iff {\left({\log }_{2}2+{\log }_{2}x\right)}^2-2.2{\log }_{2}x-m-1=0\\ \iff {\left({\log }_{2}x+1\right)}^2-4{\log }_{2}x-m-1=0\end{array}$

$\begin{array}{l}\iff {\log }_2^{2}x+2{\log }_{2}x+1-4{\log }_{2}x-m-1=0\\ \iff {\log }_2^{2}x-2{\log }_{2}x-m=0\left(1\right)\end{array}$

Đặt $t={\log }_{2}x$, phương trình (1) trở thành:

                         $t^2-2t-m=0$           (2)

Ta có:     ${\displaystyle \frac{1}{2}}\le x\le 16\iff -1\le {\log }_{2}x\le 4\Rightarrow -1\le t\le 4$

Mỗi nghiệm $t$ của phương trình (2) cho ta 1 nghiệm $x$ của phương trình (1) nên phương trình đã cho có nghiệm thuộc đoạn $\left[{\displaystyle \frac{1}{2}};16\right]$khi phương trình (2) có nghiệm thuộc đoạn $\left[-1;4\right]$ 

Xét hàm số $f\left(t\right)=t^2-2t$ ta có:

                       $\begin{array}{l}f\left(t\right)=t^2-2t\Rightarrow f^{\prime }\left(t\right)=2t-2\\ f^{\prime }\left(t\right)=0\iff t=1\end{array}$

BBT của hàm số $y=f\left(t\right)$ như sau:

Từ BBT ta thấy phương trình $\left(2\right)$ có nghiệm thuộc đoạn $\left[-1;4\right]$ khi và chỉ khi $m\in \left[-1;8\right]$

Mà $m$ là số nguyên nên có tất cả 10 giá trị của $m$ thỏa mãn.

Đáp án  A

Câu 42:

Phương pháp:

Khối đều loại $\left\{p;q\right\}$ là khối trong đó, $p$ là số cạnh của mỗi mặt, $q$ là số mặt chung của mỗi đỉnh.

Hướng dẫn giải:

Khối đa diện đều loại $\left\{4;3\right\}$ là khối đa diện trong đó mỗi mặt có 4 cạnh và mỗi đỉnh là đỉnh chung của 3 mặt.

Do đó, khối đa diện đều loại $\left\{4;3\right\}$ là khối lập phương.

Hình lập phương có 6 mặt nên khối đa diện đều loại $\left\{4;3\right\}$ có 6 mặt.

Đáp án  D

Câu 43:

Phương pháp:

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số bậc 2 đạt được tại giá trị $x=x_0$

Tính giá trị của ${\log }_2{x}_0$.

Hướng dẫn giải:

TXĐ:   $D=\mathbb{R}$

Ta có:

     $y=x^2-4x+2=\left(x^2-4x+4\right)-2={\left(x-2\right)}^2-2\ge -2$

Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi ${\left(x-2\right)}^2=0\Rightarrow x=2$

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng $-2,$ đạt được khi $x=2$ hay  $x_0=2$

Do đó, ${\log }_2{x}_0={\log }_{2}2=1$    

Đáp án  B

Câu 44:

Phương pháp:

Khi cắt hình trụ bởi một mặt phẳng đi qua trục ta được thiết diện là một tam giác cân tại đỉnh, có 2 cạnh bên là đường sinh, cạnh đáy là đường kính của đường tròn đáy.

Hướng dẫn giải:

Gọi $S$ là đỉnh của hình nón đã cho

Thiết diện qua trục của hình nón cắt đường tròn đáy theo một đường kính $AB$

Suy ra thiết diện của hình nón khi cắt bởi mặt phẳng qua trục là tam giác $SAB$.

Góc ở đỉnh bằng ${60}^{\circ }$ hay $\widehat{ASB}={60}^{\circ }$

Tam giác $SAB$ có $SA=SB$ và $\widehat{ASB}={60}^{\circ }$ nên tam giác $SAB$ đều

Tam giác $SAB$ đều có cạnh $AB=2r=2a$ nên diện tích tam giác $SAB$ là

                                                     $S_{\mathrm{\Delta }SAB}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}{\left(2a\right)}^2}{4}}=\sqrt{3}{a}^2$

Đáp án  D

Câu 45:

Phương pháp:

Đạo hàm của hàm số $y={\log }_{a}f\left(x\right)$ là $y^{\prime }={\displaystyle \frac{f^{\prime }\left(x\right)}{\ln a.f\left(x\right)}}$ với $0<a\ne 1;f\left(x\right)>0$

Hướng dẫn giải:

TXĐ:  $D=\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$

Đạo hàm của hàm số $y={\log }_{3}x$ là   $y^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{\ln 3.x}}$

Suy ra đạo hàm của hàm số $y=f\left(x\right)={\log }_{3}x$ tại điểm $x_0={\displaystyle \frac{1}{3}}$ là:

                                 $f^{\prime }\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)={\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{1}{3}}.\ln 3}}={\displaystyle \frac{3}{\ln 3}}$

Đáp án  B

Câu 46:

Phương pháp:

Tìm chân đường cao hạ từ $S$ xuống mặt phẳng $\left(ABCD\right)$. Tính độ dài chiều cao của khối chóp

Thể tích của khối chóp có chiều cao bằng $h$ và diện tích đáy bằng $S$ là        $V={\displaystyle \frac{1}{3}}Sh$

Hướng dẫn giải:

Gọi $H$ là trung điểm của $AB$.

Tam giác $SAB$ đều nên $SH\mathrm{\perp }AB$

Ta có:

$\{\begin{array}{l}\left(SAB\right)\mathrm{\perp }\left(ABCD\right)\\ \left(SAB\right)\cap \left(ABCD\right)=AB\\ SH\mathrm{\perp }AB\\ SH\subset \left(SAB\right)\end{array}\Rightarrow SH\mathrm{\perp }\left(ABCD\right)$

Tam giác $SAB$ đều, $SH\mathrm{\perp }AB$ nên $SH={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}.AB={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}.2a=\sqrt{3}a$

Thể tích của khối chóp đã cho là:

                          $V_{S.ABCD}={\displaystyle \frac{1}{3}}SH.S_{ABCD}={\displaystyle \frac{1}{3}}SH.AB.BC$ $={\displaystyle \frac{1}{3}}.\sqrt{3}a.2a.a={\displaystyle \frac{2\sqrt{3}{a}^3}{3}}$

Đáp án  A

Câu 47:

Phương pháp:

Hàm số $y=f\left(x\right)$đồng biến trên khoảng $\left(a;b\right)$ khi nó xác định và liên tục trên khoảng $\left(a;b\right)$ đồng thời

${\displaystyle \frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}}\ge 0,\mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in \left(a;b\right)$

Hướng dẫn giải:

Từ đồ thị hàm số đã cho ta thấy:

  Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-1\right)$ và $\left(1;+\mathrm{\infty }\right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left(-1;1\right)$

Đáp án  A

Câu 48:

Phương pháp:

Số điểm cực trị của hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$ là số nghiệm phân biệt bội lẻ của phương trình $f^{\prime }\left(x\right)=0$.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

               $\begin{array}{l}{f}^{\prime }\left(x\right)=-x^2+2x+3=\left(3-x\right)\left(x+1\right)\\ f^{\prime }\left(x\right)=0\iff [\begin{array}{c}x=3\\ x=-1\end{array}\end{array}$

Phương trình $f^{\prime }\left(x\right)=0$ có 2 nghiệm phân biệt nên hàm số đã cho có 2 điểm cực trị.

Đáp án  A

Câu 49:

Phương pháp:

Số nghiệm của phương trình $f\left(x\right)=m$ là số giao điểm của đường thẳng $y=m$ và đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$

Hướng dẫn giải:

TXĐ:  $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{0\right\}$

Ta có:      $3f\left(x\right)-m=0\iff f\left(x\right)={\displaystyle \frac{m}{3}}$

Từ BBT trên ta thấy 

Phương trình $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{m}{3}}$ có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $-2<{\displaystyle \frac{m}{3}}<2\iff -6<m<6$

Mà $m$ là số nguyên nên $m\in \left\{-5;-4;-3;....;3;4;5\right\}$

Do đó, có 11 giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $3f\left(x\right)-m=0$ có 3 nghiệm phân biệt.

Đáp án  D

Câu 50:

Phương pháp:

Đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ nhận đường thẳng $x=a$ là tiệm cận đứng khi xảy ra một trong các giới hạn $\underset{x\to a^{\pm }}{lim}f\left(x\right)=\pm \mathrm{\infty }$.  

Hướng dẫn giải: 

Từ BBT ta thấy:

    $\underset{x\to 1^{-}}{lim}f\left(x\right)=+\mathrm{\infty }$ nên $x=1$ là  đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số đã cho chỉ có 1 đường tiệm cận đứng là $x=1$

Đáp án  D

Câu 51:

Phương pháp:

Đặt ẩn phụ, đưa phương trình đã cho về phương trình bậc 2

Tìm điều kiện của ẩn phụ. Giải bài toán với điều kiện đó.

Hướng dẫn giải:

TXĐ:   $D=\mathbb{R}$

Đặt $t=3^{x^2}\left(t>0\right)$ thì phương trình đã cho trở thành:

                            $t^2-mt+2m+3=0\left(1\right)$

Nhận thấy, $x^2\ge 0,\mathrm{\forall }x\Rightarrow 3^{x^2}\ge 1$ nên với mỗi nghiệm $t>1$ thì $x^2>0$ hay có 2 nghiệm $x$ thỏa mãn.

Do đó để phương tình đã cho có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (1) có 2 nghiệm $t>1$

(1) có 2 nghiệm $t_1;t_2>1$ khi và chỉ khi:

             $\{\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }>0\\ t_1+t_2>2\\ \left(t_1-1\right)\left(t_2-1\right)>0\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{l}{m}^2-4\left(2m+3\right)>0\\ t_1+t_2>2\\ t_1{t}_2-\left(t_1+t_2\right)+1>0\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{l}{m}^2-8m-12>0\\ m>2\\ 2m+3-m+1>0\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{l}[\begin{array}{c}m>4+2\sqrt{7}\\ m<4-2\sqrt{7}\end{array}\\ m>2\\ m>-4\end{array}$ $\Rightarrow m>4+2\sqrt{7}$

Mặt khác $m$ là số nguyên dương nhỏ hơn 15 nên $m\in \left\{10;11;12;13;14\right\}$

Vậy có 5 giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án  A

Câu 52:

Phương pháp:

Tìm chân đường cao hạ từ $S$ xuống mặt phẳng $\left(ABC\right)$.

Thể tích của khối chóp có diện tích đáy bằng $S$ và chiều cao bằng $h$ là:     $V={\displaystyle \frac{1}{3}}Sh$

Hướng dẫn giải:

Ta có:

     $\{\begin{array}{l}\left(SAB\right)\cap \left(SAC\right)=SA\\ \left(SAB\right)\mathrm{\perp }\left(ABC\right)\\ \left(SAC\right)\mathrm{\perp }\left(ABC\right)\end{array}\Rightarrow SA\mathrm{\perp }\left(ABC\right)$

Tam giác $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ nên

$S_{\mathrm{\Delta }ABC}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}A{B}^2={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}{a}^2$

$SA\mathrm{\perp }\left(ABC\right)$ nên thể tích khối chóp đã cho là:

$V_{S.ABC}={\displaystyle \frac{1}{3}}SA.S_{\mathrm{\Delta }ABC}={\displaystyle \frac{1}{3}}.{\displaystyle \frac{\sqrt{3}a}{2}}.{\displaystyle \frac{\sqrt{3}{a}^2}{4}}={\displaystyle \frac{a^3}{8}}$

Đáp án  B

Câu 53:

Phương pháp:

Hàm số $y=f\left(x\right)$đồng biến trên khoảng $\left(a;b\right)$ khi nó xác định và liên tục trên khoảng $\left(a;b\right)$ đồng thời $f^{\prime }\left(x\right)\ge 0,\mathrm{\forall }x\in \left(a;b\right)$. (Dấu ‘=’ chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm).

Hướng dẫn giải:

Từ BBT đã cho ta thấy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left(-1;0\right)$ và nghịch biến trên các khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-1\right)$ và $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$.

Đáp án  C

Câu 54:

Phương pháp:

Đạo hàm của hàm số $y=\ln x$ là  $y^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{x}}$

Hướng dẫn giải:

Đạo hàm của hàm số $y=f\left(x\right)=\ln x$ là $f^{\prime }\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}$

Do đó, đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm $x_0=2$ là    $f^{\prime }\left(2\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}$

Đáp án  D

Câu 55:

Phương pháp:

Số nghiệm của phương trình $f\left(x\right)=m$ là số giao điểm của đường thẳng $y=m$ và đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$.

Hướng dẫn giải:

Từ BBT đã cho ta thấy phương trình $f\left(x\right)=m$ có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $-1<m<3$

Mặt khác, $m$ là số nguyên nên $m\in \left\{0;1;2\right\}$

Suy ra có 3 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn phương trình $f\left(x\right)=m$ có 4 nghiệm phân biệt.

Đáp án  A

Câu 56:

Phương pháp:

Khi cắt hình trụ bởi một mặt phẳng đi qua trục ta được thiết diện là một tam giác cân tại đỉnh, có 2 cạnh bên là đường sinh, cạnh đáy là đường kính của đường tròn đáy.

Hướng dẫn giải:

Gọi $S$ là đỉnh của hình nón đã cho

Thiết diện qua trục của hình nón cắt đường tròn đáy theo một đường kính $AB$

Suy ra thiết diện của hình nón khi cắt bởi mặt phẳng qua trục là tam giác $SAB$.

Góc ở đỉnh bằng ${30}^{\circ }$ hay $\widehat{ASB}={30}^{\circ }$

Đường sinh của hình nón có độ dài bằng $a$ nên $SA=SB=a$

Diện tích tam giác $SAB$ là:

                     $S_{\mathrm{\Delta }SAB}={\displaystyle \frac{1}{2}}SA.SB.\sin ASB={\displaystyle \frac{1}{2}}.a.a.\sin {30}^{\circ }={\displaystyle \frac{1}{4}}{a}^2$

Đáp án  D

Câu 57:

Phương pháp:

Đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ nhận đường thẳng $y=b$ là tiệm cận ngang khi xảy ra một trong các giới hạn $\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=b$.  

Hướng dẫn giải:

Từ BBT của đồ thị hàm số đã cho ta thấy:

     $\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}=2$ nên $y=2$ là đường tiệm cận ngang duy nhất của đồ thị hàm số đã cho.

Vậy hàm số đã cho có 1 đường tiệm cận ngang.

Đáp án  A

Câu 58:

Phương pháp:

Số điểm cực trị của hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$ là số nghiệm phân biệt bội lẻ của phương trình $f^{\prime }\left(x\right)=0$.

Hướng dẫn giải:

Hàm số đã cho xác định trên $\mathbb{R}$ nên ta có:

              $f^{\prime }\left(x\right)=-x+3\Rightarrow f^{\prime }\left(x\right)=0\iff x=3$

Phương trình $f^{\prime }\left(x\right)=0$ có 1 nghiệm đơn duy nhất nên hàm số đã cho có 1 điểm cực trị.

Đáp án  D

Câu 59:

Phương pháp:

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số bậc 2.

Tính giá trị của $2^{x_0}$

Hướng dẫn giải:

TXĐ:   $D=\mathbb{R}$

Ta có:

               $y=-x^2+6x+5=-\left(x^2-6x+9\right)+14$ $=14-{\left(x-3\right)}^2\le 14,\mathrm{\forall }x\in D$

Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi ${\left(x-3\right)}^2=0\iff x=3$

Do đó, hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất tại $x=x_0=3$

Vậy  $2^{x_0}=2^3=8$

Đáp án  B

Câu 60:

Phương pháp:

Khối đều loại $\left\{p;q\right\}$ là khối trong đó, $p$ là số cạnh của mỗi mặt, $q$ là số mặt chung của mỗi đỉnh.

Hướng dẫn giải:

Khối đa diện đều loại $\left\{3;3\right\}$ là khối chóp mà trong đó, mỗi mặt có 3 đỉnh, mỗi đỉnh là đỉnh chung của 3 mặt.

Do đó, khối đa diện đều loại $\left\{3;3\right\}$ là hình tứ diện đều.

Hình tứ diện đều có 4 mặt hay khối đa diện đều loại $\left\{3;3\right\}$ có 4 mặt.

Đáp án  C