Đề số 8 - Đề kiểm tra học kì 2 (Đề thi học kì 2) - Toán 12

Đề bài

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (6 điểm)

Câu 1:Cho số phức z = 3 – 2i. Tìm điểm biểu diễn của số phức $\mathrm{w}=z+i.\bar{z}$

A. M(5;-5).                      B. M(1;-5).

C. M(1;1).                       D. M(5;1).

Câu 2: Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = cos3x là:

A.$-{\displaystyle \frac{1}{3}}\sin 3x+C.$        B.${\displaystyle \frac{1}{3}}\sin 3x+C.$

C.$3\sin 3x+C.$           D.$-3\sin 3x+C.$

Câu 3: Biết $\underset{0}{\overset{2}{\int }}{e}^{3x}dx={\displaystyle \frac{e^a-1}{b}}.$ Tìm khẳng địng đúng trong các khẳng định sau?

A. a + b = 10.                  B. a = b.

C. a = 2b.                        D. a < b.

Câu 4: Công thức nguyên hàm nào sau đây không đúng?

A.$\int {\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}x}}=\mathrm{t}+C.$

B.$\int a^{x}dx={\displaystyle \frac{a^x}{\ln a}}+C(0<a\ne 1).$

C.$\int x^{\alpha }={\displaystyle \frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}}+C(\alpha \ne -1).$

D.$\int {\displaystyle \frac{1}{x}}=\ln x+C.$

Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:{\displaystyle \frac{x-1}{2}}={\displaystyle \frac{y+1}{-3}}={\displaystyle \frac{z-5}{4}}$ và mặt phẳng (P); x – 3y + 2z – 5 = 0. Mệnh đề nào sau đây không đúng?

A. d cắt và không vuông góc với (P).

B.d vuông góc với (P).

C. d song song với (P).  

D. d nằm trong (P).

Câu 6: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A(1;4;7) và vuông góc với mặt phẳng (P): x + 3y - 2z – 3 = 0 là:

A.$\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=4+4t\\ z=7-4t\end{array}$

B.$\{\begin{array}{l}x=-4+t\\ y=3+2t\\ z=-1-2t\end{array}$

C.$\{\begin{array}{l}x=1+4t\\ y=4+3t\\ z=7+t\end{array}$

D.$\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2+4t\\ z=-2+7t\end{array}$

Câu 7: Cho A(1;2;3), mặt phẳng (P): x + y + z – 2 = 0. Phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng (P) biết (Q) cách điểm A một khoảng bằng $3\sqrt{3}$ là:

A. x + y + z + 3 = 0 và x + y + z – 3 = 0.

B. x + y + z + 3 = 0 và x + y + z + 15 = 0.

C. x + y + z + 3 = 0 và x + y + z – 15 = 0.

D. x + y + z + 3 = 0 và x + y – z – 15 = 0.

Câu 8: Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z.

A. Phần thực là – 4 và phần ảo là 3.

B. Phần thực là 3 và phần ảo là – 4i.

C. Phần thực là 3 và phần ảo là – 4.

D. Phần thực là – 4 và phần ảo là 3i.

Câu 9: Biết $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=10,F(x)$ là một nguyên hàm của f(x) và F(a) = - 3. Tính F(b).

A. F(b) = 13.                   B. F(b) = 10.

C. F(b) = 16.                   D. F(b) = 7.

Câu 10: Tìm số phức liên hợp của số phức z = i(3i+1).

A.$\bar{z}=3-i.$  B.$\bar{z}=-3-i.$

C.$\bar{z}=-3+i.$     D.$\bar{z}=3+i.$

Câu 11: Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f(x)={\displaystyle \frac{4}{1+2x}}$ và F(0) = 2. Tìm F(2).

A. 4ln5 + 2.                     B. 5 (1 + ln2).

C. 2 ln5 + 4.                    D. 2 (1+ln5).

Câu 12: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y=x^2,$ trục hoành và hai đường thẳng x = -1, x = 3 là:

A. ${\displaystyle \frac{1}{3}}.$          B.${\displaystyle \frac{28}{3}}.$

C.${\displaystyle \frac{8}{3}}.$           D.${\displaystyle \frac{28}{9}}.$

Câu 13: Gọi $z_1$ và $z_2$ lần lượt là nghiệm của phương trình: $z^2-2z+5=0.$ Tính $P=\left|z_1\right|+\left|z_2\right|.$

A.$2\sqrt{5}.$                 B. 10.

C. 3.                         D. 6.

Câu 14: Tính mô đun của số phức z thỏa mãn: z(2 – i) + 13i = 1.

A.$\left|z\right|={\displaystyle \frac{\sqrt{34}}{3}}.$     B.$\left|z\right|={\displaystyle \frac{5\sqrt{34}}{2}}.$

C.$\left|z\right|=34.$  D.$\left|z\right|=\sqrt{34}.$

Câu 15: Tích phân $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\displaystyle \frac{2dx}{3-2x}}=\ln a.$ Giá trị của a bằng:

A. 3.                                B. 2.

C. 4.                                D.1.

Câu 16: Biết $\underset{0}{\overset{3}{\int }}f(x)dx=12.$ Tính $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)dx.$

A. 4.                                B. 6.

C. 36.                              D. 3.

Câu 17: F(x) là nguyên hàm của hàm số $f(x)={\displaystyle \frac{3x+4}{x^2}},(x\ne 0),$ biết rằng F(1) =  1. F(x) là biểu thức nào sau đây:

A.$F(x)=2x+{\displaystyle \frac{4}{x}}-5.$

B.$F(x)=3\ln \left|x\right|+{\displaystyle \frac{4}{x}}+5.$

C.$F(x)=3x-{\displaystyle \frac{4}{x}}+3.$

D.$F(x)=3\ln \left|x\right|-{\displaystyle \frac{4}{x}}+3.$

Câu 18: Trong hệ tọa Oxyz, cho hai điểm A(3;-2;-1), B(4;-1;2). Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là:

A. $2x+2y+3z+1=0.$

B. $4x–4y–6z+{\displaystyle \frac{15}{2}}=0.$

B. $4x+4y+6z–7=0.$

D. $x+y–z=0.$

Câu 19: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=2+2t\\ y=-3t\\ z=-3+5t\end{array}(t\in \mathbb{R}).$ Vectơ nào dưới đây là vectơ chỉ phương của d?

A.$\overrightarrow{u}=(2;0;-3).$                  

B.$\overrightarrow{u}=(2;-3;5).$

C.$\overrightarrow{u}=(2;3;-5).$                  

D.$\overrightarrow{u}=(2;0;5).$

Câu 20: Cho đồ thị hàm số y = f(x), diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình) là:

A.$S=\underset{-3}{\overset{4}{\int }}f(x)dx.$

B.$S=\underset{0}{\overset{-3}{\int }}f(x)dx+\underset{0}{\overset{4}{\int }}f(x)dx.$

C.$S=\underset{-3}{\overset{1}{\int }}f(x)dx+\underset{1}{\overset{4}{\int }}f(x)dx.$     

D.$S=\underset{-3}{\overset{0}{\int }}f(x)dx-\underset{0}{\overset{4}{\int }}f(x)dx.$

Câu 21: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(-2;0;0), B(0;3;0) và C(0;0;2). Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng (ABC)?

A.${\displaystyle \frac{x}{3}}+{\displaystyle \frac{y}{2}}+{\displaystyle \frac{z}{-2}}=1.$

B.${\displaystyle \frac{x}{2}}+{\displaystyle \frac{y}{-2}}+{\displaystyle \frac{z}{3}}=1.$

C.${\displaystyle \frac{x}{2}}+{\displaystyle \frac{y}{3}}+{\displaystyle \frac{z}{-2}}=1.$

D.${\displaystyle \frac{x}{-2}}+{\displaystyle \frac{y}{3}}+{\displaystyle \frac{z}{2}}=1.$

Câu 22: Phương trình nào sau đây là chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm A(1;2;-3) và B(3;-1;1)?

A.${\displaystyle \frac{x-1}{3}}={\displaystyle \frac{y-2}{-1}}={\displaystyle \frac{z+3}{1}}.$

B.${\displaystyle \frac{x-3}{1}}={\displaystyle \frac{y+1}{2}}={\displaystyle \frac{z-1}{-3}}.$         

C.${\displaystyle \frac{x-1}{2}}={\displaystyle \frac{y-2}{-3}}={\displaystyle \frac{z+3}{4}}.$

D.${\displaystyle \frac{x+1}{2}}={\displaystyle \frac{y+2}{-3}}={\displaystyle \frac{z-3}{4}}.$

Câu 23: Tìm số phức z biết $z={\displaystyle \frac{3+4i}{i^{2019}}}.$

A. z = 4 – 3i.                   B. z = 4 + 3i.

C. z = 3 – 4i.                   D. z = 3 + 4i.

Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2z + 3 = 0. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của (P)?

A.$\overrightarrow{n}=(1;-2;0).$                  

B. $\overrightarrow{n}=(1;0;-2).$

C. $\overrightarrow{n}=(3;-2;1).$                 

D. $\overrightarrow{n}=(1;-2;3).$

PHẦN II. TỰ LUẬN (4 điểm)

Câu 1: (1.0 điểm). Tính các tích phân sau:

a) $I=\underset{0}{\overset{\sqrt{7}}{\int }}x\sqrt[3]{1+x^2}dx;$

$b)I=\underset{0}{\overset{{\displaystyle \frac{\pi }{4}}}{\int }}(3-2x)cos2xdx.$

Câu 2: (1.0 điểm).

a) Giải phương trình (1 + i)z + (4 – 7i) = 8 – 4i.

b) Tìm số phức z thỏa mãn: $(3+i)\bar{z}+(1+2i)z=3-4i.$

Câu 3: (2.0 điểm).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2;1;1) và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + 4 = 0.

a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với mặt phẳng (P).

b) Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (P).

c) Viết phương trình mặt cầu (S) tâm M và tiếp xúc với mặt phẳng (P).

Lời giải chi tiết

PHẦN II. TỰ LUẬN (4 điểm)

Câu 1: (1.0 điểm) 

Tính các tích phân sau:a) $I=\underset{0}{\overset{\sqrt{7}}{\int }}x\sqrt[3]{1+x^2}dx;$$b)I=\underset{0}{\overset{{\displaystyle \frac{\pi }{4}}}{\int }}(3-2x)cos2xdx.$

a) Đặt: $t=\sqrt[3]{1+x^2}\Rightarrow t^3=1+x^2$

$\Rightarrow 3t^{2}dt=2xdx\Rightarrow xdx={\displaystyle \frac{3}{2}}{t}^{2}dt$

Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=1;x=\sqrt{7}\Rightarrow t=2$

$\Rightarrow I=\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\displaystyle \frac{3}{2}}{t}^{3}dt$$={{\displaystyle \frac{3}{8}}|}_1^2={\displaystyle \frac{3}{8}}(16-1)={\displaystyle \frac{45}{8}}.$

b) Đặt $\{\begin{array}{l}u=3-2x\Rightarrow du=-2dx\\ dv=\cos 2x\Rightarrow v={\displaystyle \frac{\sin 2x}{2}}\end{array}$

$\begin{array}{l}I=(3-2x){{\displaystyle \frac{\sin 2x}{2}}|}_0^{{\displaystyle \frac{\pi }{4}}}+\underset{0}{\overset{{\displaystyle \frac{\pi }{4}}}{\int }}\sin 2xdx\\ =\left({\displaystyle \frac{6-\pi }{4}}\right)-{\displaystyle \frac{1}{2}}(0-1)\\ ={\displaystyle \frac{8-\pi }{4}}=2-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}.\end{array}$

Câu 2: (1.0 điểm)

a) Giải phương trình $(1+i)z+(4–7i)=8–4i.$

Ta có:

$\begin{array}{l}(1+i)z+(4-7i)=8-4i\\ \iff (1+i)z=4+3i\\ \iff z={\displaystyle \frac{4+3i}{1+i}}={\displaystyle \frac{(4+3i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}}\\ ={\displaystyle \frac{4-4i+3i-3i^2}{2}}={\displaystyle \frac{7}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}i\end{array}$

b) Tìm số phức z thỏa mãn: $(3+i)\bar{z}+(1+2i)z=3-4i.$

Gọi $z=a+bi$ $(a,b\in \mathbb{R},i^2=-1)\Rightarrow \bar{z}=a-bi$

$\begin{array}{l}(3+i)\bar{z}+(1+2i)z=3-4i\\ \iff (3+i)(a-bi)+(1+2i)(a+bi)\\ =3-4i\\ \iff 4a-b+(3a-2b)i=3-4i\\ \iff \{\begin{array}{c}4a-b=3\\ 3a-2b=-4\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{c}a=2\\ b=5\end{array}\end{array}$

Vậy $z=2+5i.$

Câu 3:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2;1;1) và mặt phẳng (P): $2x–y+2z+4=0.$

a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với mặt phẳng (P).

Đường thẳng (d) đi qua điểm M(2;1;1), vuông góc với (P) có VTCP: $\overrightarrow{u}=(2;-1;2)$

Có PTTS: $\{\begin{array}{l}x=2+2t\\ y=1-t\\ z=1+2t\end{array}(t\in \mathbb{R})$

b) Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (P).

Tọa độ hình chiếu H của M lên mặt phẳng (P) là nghiệm của hệ:

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{c}2x-y+2z+4=0\\ x=2+2t\\ y=1-t\\ z=1+2t\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{c}t=-1\\ x=0\\ y=2\\ z=-1\end{array}\end{array}$

Vậy $H(0;2;-1)$

c) Viết phương trình mặt cầu (S) tâm M và tiếp xúc với mặt phẳng (P).

Ta có: $d(M;(P))={\displaystyle \frac{\left|4-1+2+4\right|}{\sqrt{4+1+4}}}=3$

Mặt cầu (S) tâm M và tiếp xúc với mặt phẳng (P) có bán kính R = d(M;(P))=2 có phương trình: $(x-2{)}^2+(y-1{)}^2+(z-1{)}^2=9$

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]