cho biểu thức A=(45x^5y^3-21x^4y^3+123x^3y^3): 3x^3y^3+(x-6)(x+5) a)rút gọn A b) chứng minh A luôn luôn dương với mọi giá trị của x và y

a) Để rút gọn biểu thức A, ta bắt đầu phân tích từng phần trong A:

A = (45x^5y^3 - 21x^4y^3 + 123x^3y^3) : (3x^3y^3) + (x - 6)(x + 5)

Bước đầu tiên là rút gọn phần đầu tiên:

(45x^5y^3 - 21x^4y^3 + 123x^3y^3) : (3x^3y^3)

Ta có thể chia từng hạng tử trong dấu ngoặc cho (3x^3y^3):

- 45x^5y^3 : 3x^3y^3 = 15x^2
- (-21x^4y^3) : 3x^3y^3 = -7x
- 123x^3y^3 : 3x^3y^3 = 41

Vì vậy, phần đầu tiên sẽ trở thành:
15x^2 - 7x + 41.

Giờ ta chuyển sang phần thứ hai trong biểu thức A:

(x - 6)(x + 5) = x^2 - 6x + 5x - 30 = x^2 - x - 30.

Cuối cùng, kết hợp cả hai phần lại với nhau:

A = (15x^2 - 7x + 41) + (x^2 - x - 30) = 15x^2 + x^2 - 7x - x + 41 - 30 = 16x^2 - 8x + 11.

Vậy biểu thức đã rút gọn A là:
A = 16x^2 - 8x + 11.

b) Để chứng minh A luôn luôn dương với mọi giá trị của x và y, ta xem xét biểu thức A = 16x^2 - 8x + 11.

Biểu thức này là một hàm bậc hai của x, với a = 16, b = -8, và c = 11. Đầu tiên, ta tìm giá trị của discriminant (Δ) để kiểm tra xem hàm có nghiệm hay không:

Δ = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 16 11 = 64 - 704 = -640.

Vì Δ < 0, nên hàm này không có nghiệm, tức là nó không cắt trục hoành. Đoạn nghiệm của hàm bậc hai với a > 0 sẽ luôn nằm trên trục hoành và do đó hàm này luôn dương.

Ta cũng có thể tính giá trị cực trị của hàm này bằng cách tính điểm x đạt cực tiểu:

x = -b/(2a) = -(-8)/(2 * 16) = 8/32 = 1/4.

Thay giá trị x = 1/4 vào A để tìm giá trị cực tiểu:

A(1/4) = 16(1/4)^2 - 8(1/4) + 11 = 16(1/16) - 2 + 11 = 1 - 2 + 11 = 10.

Vậy A đạt giá trị cực tiểu là 10 tại x = 1/4, và vì thế A luôn dương với mọi giá trị của x và y.

Tóm lại, A luôn dương với mọi giá trị của x và y.