C = x+2/căn x so sánh C với 1/4 và chứng minh C>2

Để so sánh C = (x + 2)/√x với 1/4 và chứng minh C > 2, chúng ta sẽ làm từng phần một.

Bước 1: So sánh C với 1/4

Ta có:

C = (x + 2)/√x

Để so sánh C với 1/4, ta sẽ viết bất đẳng thức:

(x + 2)/√x > 1/4

Nhân cả hai vế với 4√x (lưu ý rằng √x > 0 khi x > 0):

4(x + 2) > √x

Sẽ chuyển thành:

4x + 8 > √x

Khi đó, ta có phương trình:

4x - √x + 8 > 0

Đặt t = √x, thì x = t², ta thay vào bất đẳng thức:

4t² - t + 8 > 0

Phương trình bậc hai này có dạng A = 4, B = -1, C = 8. Để tìm nghiệm của phương trình bậc hai:

D = B² - 4AC = (-1)² - 4 4 8 = 1 - 128 = -127

Vì D < 0, phương trình 4t² - t + 8 không có nghiệm thực, điều này có nghĩa là bất đẳng thức 4t² - t + 8 > 0 luôn đúng với mọi t thực.

=> Kết luận: C > 1/4 cho mọi x > 0.

Bước 2: Chứng minh C > 2

Tiếp theo, ta chứng minh C > 2:

C = (x + 2)/√x > 2

Nhân cả hai vế với √x (có thể nhân vì √x > 0):

x + 2 > 2√x

Chuyển thành bất đẳng thức:

x - 2√x + 2 > 0

Đặt t = √x, thì x = t², ta có phương trình:

t² - 2t + 2 > 0

D = B² - 4AC = (-2)² - 4 1 2 = 4 - 8 = -4

Với D < 0, nên bất đẳng thức t² - 2t + 2 > 0 luôn đúng với mọi t thực.

=> Kết luận: C > 2 cho mọi x > 0.

Vậy ta đã chứng minh được rằng C > 1/4 và C > 2 cho mọi x > 0.