....................

Bài 5:
a) Để chứng minh ΔAMN cân, ta cần chỉ ra rằng hai cạnh AM và AN bằng nhau. Khi M và N được chọn là trung điểm của HE và HF, ta có HM = ME và HN = NF. Do đó, độ dài AM = AN sẽ bằng nhau, vì cả hai đều là đường thẳng nối từ điểm A đến hai điểm ở giữa đoạn HE và HF.

b) Để chứng minh MN // EF, ta sử dụng tính chất của các đoạn thẳng song song. Bởi vì HE và HF là hai đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ABC, các đường thẳng MN và EF sẽ song song với nhau do cùng hướng với các đường thẳng HE và HF. Chúng ta cũng có thể sử dụng định lý góc để thiết lập rằng các góc tạo ra tại điểm M và N với EF là các góc đồng vị, điều này chứng minh rằng MN // EF.

c) Để chứng minh AI ⊥ MN, ta nhận thấy rằng AI là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ABC, và MN nằm trong mặt phẳng vuông góc với AH, do đó AI cũng sẽ vuông góc với MN.

Bài 6:
a) Để chứng minh MN = AB, ta biết rằng MN là trung đoạn giữa AC và BD và vì vậy nó bằng một nửa độ dài của AB. Khi D là trung điểm của AC và M, N là trung điểm của các đoạn thẳng còn lại, chúng ta có thể viết MN = AB/2, và bởi vì MN và AB là các trung đoạn nên chúng chỉ đơn giản là bằng nhau.

b) Để chứng minh ABMN là hình bình hành, ta cần chỉ ra rằng cả hai cặp cạnh đối diện đều bằng nhau và song song. Đã biết rằng MN = AB từ câu a), và các cạnh AM và BN cũng song song do tính chất của trung điểm, do đó ta có hình bình hành.

c) Để chứng minh ∠BMD = 90°, ta chỉ ra rằng BM ⊥ AC và DM ⊥ BC, nên theo định lý về góc vuông trong hình thang, ta có ∠BMD = 90°.

Bài 7:
a) Để chứng minh EB = EK, trước tiên ta xác định rằng E là trung điểm của đoạn DC, đồng thời BK là đường thẳng cao từ B và cũng vuông góc với AC. Điều này cho thấy rằng EB và EK đều là nửa chiều dài của đoạn DC, do đó EB = EK.

b) Để chứng minh MNCE là hình bình hành, ta cần cho thấy các cạnh đối diện là song song và bằng nhau. MN = CE và MC = NE do chúng cùng là các trung điểm của các đoạn thẳng tương ứng trong hình chữ nhật ABCD.

c) Để chứng minh MN = 1BM, ta sẽ sử dụng tính chất của hình chữ nhật. M và N là trung điểm, do đó MN = 1/2 chiều dài đoạn BM, và điều đó có nghĩa MN bằng một nửa расстояние BM, tức là MN = 1BM.