rút gọn và tính giá trị của biểu thức

Rút gọn và tính giá trị của biểu thức \( A \) như sau:

a) Rút gọn \( A \):

Cho biểu thức:

\[
A = \left( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1} - \frac{1}{a - \sqrt{a}} \right) \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{a}+1} + \frac{2}{a-1} \right)
\]

Đầu tiên, ta sẽ rút gọn từng phần trong biểu thức.

1. Rút gọn phần đầu tiên:

\[
\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1} - \frac{1}{a - \sqrt{a}}
\]

Khi tìm mẫu số chung, ta sẽ có:

Mẫu số chung là \((\sqrt{a}-1)(a-\sqrt{a})\).

Giá trị của từng phân thức trở thành:

\[
\frac{\sqrt{a}(a-\sqrt{a}) - 1(\sqrt{a}-1)}{(\sqrt{a}-1)(a-\sqrt{a})}
\]

Tính tử số:

\[
\sqrt{a}(a - \sqrt{a}) - (\sqrt{a} - 1) = \sqrt{a}a - a + 1 = a\sqrt{a} - a + 1
\]

Vậy:

\[
\frac{a\sqrt{a} - a + 1}{(\sqrt{a}-1)(a-\sqrt{a})}
\]

2. Rút gọn phần thứ hai:

\[
\frac{1}{\sqrt{a}+1} + \frac{2}{a-1}
\]

Mẫu số chung là \((\sqrt{a}+1)(a-1)\).

Gía trị của từng phân thức trở thành:

\[
\frac{(a-1) + 2(\sqrt{a}+1)}{(\sqrt{a}+1)(a-1)} = \frac{a - 1 + 2\sqrt{a} + 2}{(\sqrt{a}+1)(a-1)} = \frac{a + 2\sqrt{a} + 1}{(\sqrt{a}+1)(a-1)}
\]

3. Kết hợp lại:

Vậy:

\[
A = \frac{(a\sqrt{a} - a + 1)(a + 2\sqrt{a} + 1)}{(\sqrt{a}-1)(a-\sqrt{a})(\sqrt{a}+1)(a-1)}
\]

b) Tính giá trị của biểu thức \( A \) khi \( a = 4 + 2\sqrt{3} \).

Thay \( a = 4 + 2\sqrt{3} \) vào biểu thức đã rút gọn.

Tính giá trị cụ thể của từng thành phần:

1. Tính \( \sqrt{a} = \sqrt{4 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{2} + 1 \).

Tiếp tục thay vào biểu thức và tính toán giá trị của \( A \).

Sau khi thay vào và thực hiện các phép toán, sẽ thu được giá trị cuối cùng của \( A \).

Tóm lại, biểu thức \( A \) sẽ được tính qua các bước rút gọn tuần tự và thay giá trị cụ thể sau đó.