a) Cho đa thức P(x) = x²+bx+c, với b,c∈ Z. Xác định b,c biết rằng P(1) = 0 và hai (2), P(5) là các số chính phương.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ phân tích từng điều kiện được cho trong bài toán.

1. Điều kiện P(1) = 0:
Biết rằng P(1) = 1² + b * 1 + c = 0, tức là:
1 + b + c = 0.
Từ đây, ta có: b + c = -1. (Công thức 1)

2. Điều kiện P(2) là số chính phương:
Tính P(2):
P(2) = 2² + b * 2 + c = 4 + 2b + c.
Để P(2) là số chính phương, ta giả sử rằng P(2) = n² với n ∈ Z.
Ta có:
4 + 2b + c = n². (Công thức 2)

3. Điều kiện P(5) là số chính phương:
Tính P(5):
P(5) = 5² + b * 5 + c = 25 + 5b + c.
Tương tự, ta có:
25 + 5b + c = m² với m ∈ Z. (Công thức 3)

Từ công thức 1, ta có thể thay giá trị của c vào công thức 2 và công thức 3.

Từ công thức 1 ta có c = -1 - b.
- Thay vào công thức 2:
4 + 2b - 1 - b = n²
=> 3 + b = n².
=> b = n² - 3. (Công thức 4)

- Thay vào công thức 3:
25 + 5b - 1 - b = m²
=> 24 + 4b = m².
Thay b từ công thức 4 vào đây:
=> 24 + 4(n² - 3) = m².
=> 24 + 4n² - 12 = m².
=> 4n² + 12 = m².

Chia cả hai vế cho 4:
=> n² + 3 = (m/2)², và quy đổi về dạng số chính phương:
=> m/2 = k với k cũng phải là số nguyên.
=> n² + 3 = k². (Công thức 5)

Bây giờ, ta tìm nghiệm cho công thức 5:
=> k² - n² = 3
=> (k - n)(k + n) = 3.

Các cặp số nguyên dương là (1, 3) và -(1, -3).

- Khi k - n = 1 và k + n = 3:
=> k = 2, n = 1.

- Khi k - n = -1 và k + n = -3:
=> k = -2, n = -1 (không xét vì n và k phải là số nguyên dương).

Với n = 1:
=> Thay vào công thức 4:
b = 1² - 3 = 1 - 3 = -2.
Thay b vào công thức 1:
c = -1 - (-2) = -1 + 2 = 1.

Vậy b = -2, c = 1.

Để kiểm tra, ta thay vào các điều kiện:
- P(1) = 1² - 2*1 + 1 = 0 (đúng).
- P(2) = 2² - 2*2 + 1 = 4 - 4 + 1 = 1 (1 là số chính phương).
- P(5) = 5² - 2*5 + 1 = 25 - 10 + 1 = 16 (16 là số chính phương).

Kết luận: b = -2 và c = 1.