Tìm m để f(x) liên tục tại x0=1

Để tìm giá trị của m sao cho hàm số f(x) liên tục tại x₀ = 1, chúng ta cần xem xét điều kiện liên tục tại điểm này.

Một hàm số f(x) được coi là liên tục tại x₀ nếu:

1. f(x₀) được xác định.
2. \(\lim_{x \to x₀} f(x)\) tồn tại.
3. \(\lim_{x \to x₀} f(x) = f(x₀)\).

Trong trường hợp này, hàm số f(x) được định nghĩa như sau:

- f(x) = \(\frac{x^2 + 3x - 4}{x - 1}\) nếu \(x \neq 1\)
- f(1) = m + 2 nếu \(x = 1\)

Bước 1: Tính giới hạn của f(x) khi x tiến tới 1.

\(\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 3x - 4}{x - 1}\)

Để tính giới hạn này, chúng ta sẽ sử dụng quy tắc L'Hôpital vì dạng của nó là \( \frac{0}{0} \):

Đạo hàm của tử: \(2x + 3\)

Đạo hàm của mẫu: \(1\)

Áp dụng quy tắc L'Hôpital:

\(\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{2x + 3}{1} = 2(1) + 3 = 5\)

Bước 2: Đảm bảo rằng \(\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)\)

Chúng ta đã có:

\(\lim_{x \to 1} f(x) = 5\)
và
\(f(1) = m + 2\)

Để hàm liên tục tại x₀ = 1, chúng ta cần:

\(m + 2 = 5\)

Giải phương trình này:

\(m = 5 - 2 = 3\)

Vậy giá trị của m cần tìm là \(m = 3\).