Tìm m để f(x) liên tục tại x0=1

Để tìm giá trị của m sao cho hàm số f(x) liên tục tại x₀ = 1, chúng ta cần xem xét điều kiện liên tục tại điểm này.

Một hàm số f(x) được coi là liên tục tại x₀ nếu:

1. f(x₀) được xác định.
2. $\underset{x\to x₀}{lim}f(x)$ tồn tại.
3. $\underset{x\to x₀}{lim}f(x)=f(x₀)$.

Trong trường hợp này, hàm số f(x) được định nghĩa như sau:

- f(x) = $\frac{x^2+3x-4}{x-1}$ nếu $x\ne 1$
- f(1) = m + 2 nếu $x=1$

Bước 1: Tính giới hạn của f(x) khi x tiến tới 1.

$\underset{x\to 1}{lim}f(x)=\underset{x\to 1}{lim}\frac{x^2+3x-4}{x-1}$

Để tính giới hạn này, chúng ta sẽ sử dụng quy tắc L'Hôpital vì dạng của nó là $\frac{0}{0}$:

Đạo hàm của tử: $2x+3$

Đạo hàm của mẫu: $1$

Áp dụng quy tắc L'Hôpital:

$\underset{x\to 1}{lim}f(x)=\underset{x\to 1}{lim}\frac{2x+3}{1}=2(1)+3=5$

Bước 2: Đảm bảo rằng $\underset{x\to 1}{lim}f(x)=f(1)$

Chúng ta đã có:

$\underset{x\to 1}{lim}f(x)=5$
và
$f(1)=m+2$

Để hàm liên tục tại x₀ = 1, chúng ta cần:

$m+2=5$

Giải phương trình này:

$m=5-2=3$

Vậy giá trị của m cần tìm là $m=3$.