Tính giới hạn của dãy số và hàm số

Để tính giới hạn của biểu thức sau:

Lim (x→1) (√(x + 48) - 7) / (x - 1)

Đầu tiên, chúng ta sẽ thay thế x = 1 vào biểu thức để kiểm tra giới hạn:

Khi x = 1, ta có:
√(1 + 48) - 7 = √49 - 7 = 7 - 7 = 0
và
x - 1 = 1 - 1 = 0.

Do đó, chúng ta có dạng 0/0, điều này cho thấy chúng ta cần áp dụng quy tắc L'Hôpital hoặc biến đổi đồng biến để giải quyết.

Bây giờ, chúng ta sẽ biến đổi biểu thức bằng cách nhân cả tử và mẫu với liên hợp của tử số:

(√(x + 48) - 7) * (√(x + 48) + 7) / (x - 1)(√(x + 48) + 7)

Khi nhân tử số, chúng ta sẽ có:
(√(x + 48))^2 - 7^2 = (x + 48) - 49 = x - 1.

Vì vậy, biểu thức trở thành:
(x - 1) / [(x - 1)(√(x + 48) + 7)]

Chúng ta có thể rút gọn (x - 1) ở tử và mẫu:

= 1 / (√(x + 48) + 7)

Bây giờ, chúng ta thay x = 1 vào biểu thức đã rút gọn:

= 1 / (√(1 + 48) + 7) = 1 / (√49 + 7) = 1 / (7 + 7) = 1 / 14.

Vậy giới hạn của dãy số và hàm số này là 1/14.