Giải hộ e câu 20,21 với mai e thi rùi

Câu 20:

a) Xác định tập xác định của hàm số \( y = \sqrt{-x^2 + 4x - 3} \):

Để hàm số này xác định, phần trong căn bậc hai phải không âm:

\[
-x^2 + 4x - 3 \geq 0
\]

Xếp lại thành phương trình bậc hai:

\[
-x^2 + 4x - 3 = 0
\]

Giải phương trình bằng cách sử dụng công thức nghiệm:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 12}}{-2} = \frac{-4 \pm 2}{-2}
\]

Suy ra:

\[
x_1 = 1, \quad x_2 = 3
\]

Đặt bảng dấu cho hàm bậc 2:

\[
-x^2 + 4x - 3 \quad \text{có hình dạng chóp với cực đại tại } x = 2.
\]

Tính giá trị tại \( x = 2 \):

\[
-2^2 + 4(2) - 3 = -4 + 8 - 3 = 1 \quad (\text{không âm})
\]

Thus, hàm xác định trên đoạn \( [1, 3] \).

b) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \( y = x^2 - 2x + 4 \):

Tính đạo hàm:

\[
f'(x) = 2x - 2
\]

Giải phương trình \( f'(x) = 0 \):

\[
2x - 2 = 0 \Rightarrow x = 1
\]

Tính giá trị \( f(1) \):

\[
f(1) = 1^2 - 2(1) + 4 = 3
\]

Bảng biến thiên:

- Tại \( x < 1 \), \( f'(x) < 0 \) nên hàm giảm.
- Tại \( x = 1 \), \( f'(x) = 0 \) là điểm cực tiểu.
- Tại \( x > 1 \), \( f'(x) > 0 \) nên hàm tăng.

Hình dạng đồ thị là một parabola chúc lên với điểm cực tiểu tại \( (1, 3) \).

c) Xét dấu của tam thức bậc hai \( f(x) = x^2 - 2x + 4 \):

Tính discriminant:

\[
\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(4) = 4 - 16 = -12
\]

Vì \( \Delta < 0 \), hàm này không có nghiệm thực, và vì a > 0, nên hàm luôn dương. Điều này có nghĩa là:

\[
f(x) > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}
\]

Câu 21:

Cho tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), với \( AB = a \) và \( BC = 2a \). Tính \( AB \cdot BC + BC \cdot CA + CA \cdot AB \):

Theo định lý Pythagore:

\[
AC = \sqrt{BC^2 - AB^2}
\]

Tính \( CA \):

\[
AC = \sqrt{(2a)^2 - a^2} = \sqrt{4a^2 - a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}
\]

Tính toán \( AB \cdot BC + BC \cdot CA + CA \cdot AB \):

\[
AB \cdot BC = a \cdot 2a = 2a^2
\]
\[
BC \cdot CA = 2a \cdot a\sqrt{3} = 2a^2\sqrt{3}
\]
\[
CA \cdot AB = a\sqrt{3} \cdot a = a^2\sqrt{3}
\]

Cộng lại:

\[
AB \cdot BC + BC \cdot CA + CA \cdot AB = 2a^2 + 2a^2\sqrt{3} + a^2\sqrt{3} = 2a^2 + 3a^2\sqrt{3}
\]