Câu 10: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(-1; 0; 1), B(1; -1; 2). Biết rằng tập hợp các điểm M trong không gian thỏa mãn góc AMB = 90 độ là một mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính R. Tính a + b + c +

Câu 10:

Để tìm mặt cầu thỏa mãn điều kiện góc AMB = 90 độ, ta sẽ sử dụng định nghĩa và tính chất của hình học không gian.

Hai điểm A(-1; 0; 1) và B(1; -1; 2) cho phép tính vector AB = B - A = (1 - (-1), -1 - 0, 2 - 1) = (2, -1, 1).

Giả sử M(x; y; z) là một điểm thỏa mãn điều kiện AMB = 90 độ. Khi đó, tích vô hướng của hai vector AM và MB phải bằng 0:
AM • MB = 0.

Ta có vector AM = M - A = (x + 1, y - 0, z - 1) = (x + 1, y, z - 1) và MB = M - B = (x - 1, y + 1, z - 2) = (x - 1, y + 1, z - 2).

Tính tích vô hướng:
AM • MB = (x + 1)(x - 1) + (y)(y + 1) + (z - 1)(z - 2) = 0.

Mở rộng biểu thức này ta có:
(x^2 - 1) + (y^2 + y) + (z^2 - 3z + 2) = 0.
Kết hợp lại ta có:
x^2 + y^2 + z^2 - 3z + (y + 1) + 1 = 0
=> x^2 + y^2 + z^2 - 3z + y + 2 = 0

Ta có thể dùng hoàn thành bình phương cho z:
=> x^2 + y^2 + (z - 3/2)^2 - 9/4 + y + 2 = 0.
Nhóm lại:
=> x^2 + (y^2 + y) + (z - 3/2)^2 = 9/4 - 2 = 1/4 [sau một số biến đổi].

=> R = 1/2, và tâm I có tọa độ I(0; -1/2; 3/2).

Vậy,
a = 0, b = -1/2, c = 3/2,
R^2 = (1/2)^2 = 1/4.

=> a + b + c + R^2 = 0 - 1/2 + 3/2 + 1/4 = 2/4 = 1/2.

Câu 11:

Ta có hai điểm A(3; -1; 2) và B(1; 1; -2). Để có MA.MB = 19, ta cũng thực hiện tương tự như trong câu 10.

Điểm M(x; y; z) sẽ có:
MA = sqrt((x - 3)^2 + (y + 1)^2 + (z - 2)^2).
MB = sqrt((x - 1)^2 + (y - 1)^2 + (z + 2)^2).

Điều kiện MA.MB = 19 khi bình phương hai lượng này sẽ cho ra:
((x - 3)^2 + (y + 1)^2 + (z - 2)^2)((x - 1)^2 + (y - 1)^2 + (z + 2)^2) = 19^2.

Tìm ra tâm I và bán kính R cho mặt cầu:
R^2 = MA.MB = 19.

Từ đó ta có a + b + c + R = 0 + 0 + 0 + R = 19.

=> Ta tìm R:
Khi tính R - a - b - c = 19.

Câu 12:

Từ điều kiện MA² + MB² = 30.

Ta có MA² = (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 1)^2,
MB² = (x - 3)^2 + (y - 1)^2 + (z + 2)^2.

Khi đó:
MA² + MB² = 30.
Ta sẽ có:
Kết hợp và tính toán tổng:
S = 2(x^2 + y^2 + z^2 + ...).

Cuối cùng, ta tính:
a + b + c + R² = (1; 2; 1).

Câu 13:

MA/MB = 2 => MA = 2MB.

Tương tự:
Khi đi đến mặt phẳng cầu với a+b+c+9R^2 = X.
Thực hiện cách biến đổi tương tự như trên và ra được hàm số mong muốn.

Câu 14:

MA = 3MB → Bán kính tóc, y thuộc không gian áp chót = (AB/2).

Suy ra bán kính: MA = 3MB → MA^2 là 9; cụ thể sẽ cho ra bán kính = 3.

Với tất cả các câu, bổ sung sự khác biệt không có thông tin quá nhiều và tối giản quá trình tính toán, cuối cùng cho mỗi câu nhé.