Giúp em với  Em cảm ơn ạ

Để giải bài toán này, trước tiên ta cần hiểu rõ các yếu tố trong đề bài:

- Đường thẳng \(d\) được cho dưới dạng đối xứng:
\[
\frac{x-3}{1} = \frac{y-3}{3} = \frac{z}{2}
\]
Đường thẳng này đồng nghĩa với việc ta có thể viết lại dưới dạng tham số với \(t\):
\[
x = 3 + t, \quad y = 3 + 3t, \quad z = 2t
\]

- Điểm \(A(1; 2; -1)\) là một điểm cho trước.

- Mặt phẳng \(P\) được mô tả bởi phương trình:
\[
x + y - z + 9 = 0
\]

Bước tiếp theo là tìm phương trình đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm \(A\) và cắt đường thẳng \(d\).

### Bước 1: Tìm vectơ pháp tuyến mặt phẳng \(P\)

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(P\) sẽ là vectơ \((1, 1, -1)\), vì đây là hệ số của \(x, y, z\) trong phương trình mặt phẳng.

### Bước 2: Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\)

Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương là \( (1, 3, 2) \). Từ đây, chúng ta có thể xác định rằng đường thẳng \(\Delta\) cần phải là đường thẳng có vectơ chỉ phương là tích có hướng giữa vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(P\).

### Bước 3: Tính tích có hướng

Tích có hướng của 2 vectơ sẽ tạo ra vectơ mới:

\[
\text{Vectơ chỉ phương đường thẳng } \Delta =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 & 3 & 2 \\
1 & 1 & -1
\end{vmatrix} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}
\]

Tính từng định thức:
- Định thức đầu tiên: \(3 \cdot (-1) - 2 \cdot 1 = -3 - 2 = -5\)
- Định thức thứ hai: \(1 \cdot (-1) - 2 \cdot 1 = -1 - 2 = -3\)
- Định thức thứ ba: \(1 \cdot 1 - 3 \cdot 1 = 1 - 3 = -2\)

Vậy vectơ chỉ phương của \(\Delta\) là:
\[
(-5, 3, -2)
\]

### Bước 4: Thiết lập phương trình đường thẳng \(\Delta\)

Sử dụng điểm \(A(1; 2; -1)\) và vectơ chỉ phương tìm được, ta có phương trình đường thẳng \(\Delta\):
\[
\frac{x - 1}{-5} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z + 1}{-2}
\]

Kết quả trên là phương trình đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm \(A\) và song song với đường thẳng \(d\) và cắt mặt phẳng \(P\).

### Kết luận

Phương trình đường thẳng \(\Delta\) trong không gian đi qua điểm \(A\) và song song với đường thẳng \(d\) được xác định như trên.