Rút gọn biểu thức sau: `M = (1/(sqrta - 1) - 1/sqrta) : ((sqrta + 1)/(sqrta - 2) - (sqrta + 2)/(sqrta - 1))`

Để rút gọn biểu thức \( M \), ta sẽ thực hiện từng bước một.

1. Bước 1: Rút gọn phần tử trên và phần tử dưới của phân số.

Phần tử trên là:
\[
\frac{1}{\sqrt{a} - 1} - \frac{1}{\sqrt{a}}
\]
Để tính phần tử này, ta tìm mẫu chung là \((\sqrt{a} - 1) \cdot \sqrt{a}\):
\[
\frac{1 \cdot \sqrt{a}}{(\sqrt{a} - 1)\cdot\sqrt{a}} - \frac{(\sqrt{a} - 1)}{(\sqrt{a} - 1)\cdot\sqrt{a}}
\]
\[
= \frac{\sqrt{a} - (\sqrt{a} - 1)}{(\sqrt{a} - 1)\sqrt{a}} = \frac{1}{(\sqrt{a} - 1)\sqrt{a}}
\]

Vậy phần tử trên của \( M \) là:
\[
\frac{1}{(\sqrt{a} - 1)\sqrt{a}}
\]

2. Bước 2: Rút gọn phần tử dưới.

Phần tử dưới là:
\[
\frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} - 2} - \frac{\sqrt{a} + 2}{\sqrt{a} - 1}
\]
Tìm mẫu chung là \((\sqrt{a} - 2)(\sqrt{a} - 1)\):
\[
\frac{(\sqrt{a} + 1)(\sqrt{a} - 1) - (\sqrt{a} + 2)(\sqrt{a} - 2)}{(\sqrt{a} - 2)(\sqrt{a} - 1)}
\]
Tính tử số:
- Đối với \((\sqrt{a} + 1)(\sqrt{a} - 1)\):
\[
= a - 1
\]
- Đối với \((\sqrt{a} + 2)(\sqrt{a} - 2)\):
\[
= a - 4
\]

Vậy tử số trở thành:
\[
(a - 1) - (a - 4) = -1 + 4 = 3
\]

Vậy phần tử dưới của \( M \) là:
\[
\frac{3}{(\sqrt{a} - 2)(\sqrt{a} - 1)}
\]

3. Bước 3: Kết hợp lại.

Thay các phần tử vào biểu thức \( M \):
\[
M = \frac{\frac{1}{(\sqrt{a} - 1)\sqrt{a}}}{\frac{3}{(\sqrt{a} - 2)(\sqrt{a} - 1)}}
\]

Khi chia hai phân số, ta nhân với phân số nghịch đảo:
\[
M = \frac{1}{(\sqrt{a} - 1)\sqrt{a}} \cdot \frac{(\sqrt{a} - 2)(\sqrt{a} - 1)}{3}
\]

Rút gọn:
\[
M = \frac{(\sqrt{a} - 2)}{3\sqrt{a}}
\]

Vậy, biểu thức đã được rút gọn là:
\[
M = \frac{\sqrt{a} - 2}{3\sqrt{a}}
\]