đa thức f(x) chia cho ( x+ 1 ) dư 2 , chia cho  ( x - 2 ) dư 5, chia cho ( x+1)(x-2) thì thương là 5x^2 -1 và còn dư . Tính f(4)

Cho đa thức \( f(x) \), theo đề bài ta có các thông tin sau:

1. \( f(-1) = 2 \) (bởi vì \( f(x) \) chia cho \( (x + 1) \) với dư là 2).
2. \( f(2) = 5 \) (bởi vì \( f(x) \) chia cho \( (x - 2) \) với dư là 5).
3. Thương khi chia \( f(x) \) cho \( (x + 1)(x - 2) \) là \( 5x^2 - 1 \) và còn dư.

Gọi \( r(x) \) là phần dư khi chia \( f(x) \) cho \( (x + 1)(x - 2) \). Theo định lý phần dư, \( r(x) \) là một đa thức bậc nhỏ hơn 2, do đó có thể viết:

\( r(x) = ax + b \)

Vậy ta có thể diễn tả \( f(x) \) như sau:

\( f(x) = (x + 1)(x - 2)(5x^2 - 1) + ax + b \)

Với \( (x + 1)(x - 2) \) là bậc 2, thương là bậc 2 nên nó sẽ có dạng \( 5x^2 - 1 \) nhân với đa thức bậc 2.

Chúng ta cần tìm \( a \) và \( b \).

Từ các điều kiện:

1. Khi \( x = -1 \):
\( f(-1) = 0 \cdot (5(-1)^2 - 1) + a(-1) + b = -a + b = 2 \)

2. Khi \( x = 2 \):
\( f(2) = 0 \cdot (5 \cdot 2^2 - 1) + 2a + b = 2a + b = 5 \)

Ta có hệ phương trình:

1. \( -a + b = 2 \) (1)
2. \( 2a + b = 5 \) (2)

Giải hệ phương trình trên:

Từ phương trình (1), ta có:
\( b = a + 2 \)

Thay \( b \) vào phương trình (2):
\( 2a + (a + 2) = 5 \)

Giải phương trình:
\( 3a + 2 = 5 \)
\( 3a = 3 \)
\( a = 1 \)

Từ đó thay ngược lại vào (1):
\( -1 + b = 2 \)
\( b = 3 \)

Vậy \( a = 1 \), \( b = 3 \).

Như vậy, công thức đầy đủ của \( f(x) \) là:

\( f(x) = (x + 1)(x - 2)(5x^2 - 1) + x + 3 \)

Bây giờ, ta cần tính \( f(4) \):

\( f(4) = (4 + 1)(4 - 2)(5(4^2) - 1) + 4 + 3 \)

Tính từng phần:

1. \( (4 + 1) = 5 \)
2. \( (4 - 2) = 2 \)
3. \( 5(4^2) - 1 = 5 \cdot 16 - 1 = 80 - 1 = 79 \)

Tính:

\( f(4) = 5 \cdot 2 \cdot 79 + 4 + 3 \)
\( = 10 \cdot 79 + 7 \)
\( = 790 + 7 \)
\( = 797 \)

Vậy \( f(4) = 797 \).